И не в том смысле, что то или иное число можно изобразить в качестве
геометрической фигуры - как, например, 4 - это площадь квадрата со
стороной, равной 2, а именно в том смысле, что само число, как единица,
двойка, тройка и т.д., пространственно, а значит, тело состоит,
складывается из чисел55.
Но в таком случае единицы, или монады, пифагорейцев естественно предстают
как телесные единицы, и не случайно пифагореец Экфант, по сообщению Аэтия,
"первый объявил пифагорейские монады телесными"56.
При этом единицы, или монады, должны быть неделимыми - это их важнейший
атрибут, без которого они не могли бы быть первыми началами всего сущего.
То, что пифагорейцы действительно мыслили числа как неделимые единицы, из
которых составлены тела, можно заключить из следующей полемики с ними
Аристотеля: "То, что они (пифагорейцы. - П.Г.) не приписывают числу
отдельного существования, устраняет много невозможных последствий; но что
тела у них составлены из чисел и что число здесь математическое, это - вещь
невозможная. Ведь и говорить о неделимых величинах неправильно, и <даже>
если бы это было допустимо в какой угодно степени, во всяком случае единицы
величины не имеют, а с другой стороны, как возможно, чтобы пространственная
величина слагалась из неделимых частей? Но арифметическое число во всяком
случае состоит из <отвлеченных> единиц; между тем они говорят, что числа -
это вещи; по крайней мере, математические положения они прилагают к телам,
как будто тела состоят из этих чисел" (курсив мой. - П.Г.)57.
В пифагорейском понимании числа, таким образом, оказываются связанными два
момента: неотделенность чисел от вещей и соответственно составленность
вещей из неделимых единиц - чисел58. Если судить по приведенным отрывкам,
то пифагорейская математика, по меньшей мере в какой-то период или у
некоторых ее представителей, имела в качестве своего методологического
фундамента математически-логический атомизм, при котором числа
рассматривались как геометрические точки с определенным положением в
пространстве.
К такому выводу относительно пифагорейской математики приходит известный
историк математики Оскар Беккер. "У истоков греческой математики, - пишет
он, - вероятно, начиная еще с VI века, обнаруживается своеобразный способ
рассмотрения, который можно охарактеризовать как полуарифметический -
полугеометрический. Он состоит в использовании камешков (fэjoi) одинаковой
величины и формы (круглых и квадратных), которыми выкладываются фигуры"59.
Действительно, трудно найти этому методу построения фигур из чисел-камешков
однозначную характеристику; Г.Г. Цейтен называет его "геометрической
арифметикой"60. Видимо, этот метод предполагает допущение, что тела состоят
из множества такого рода точечных единиц-монад. При этом, как сообщает
Аристотель, единица (monРj) рассматривалась пифагорейцами как точка, не
наделенная особым положением (stigmh НJetoV), а точка (stigmя) - как
единица, имеющая положение (monНV JЪsin Ьcousa)61.
Открытие
несоизмеримости
Трудно установить, кем и когда была открыта несоизмеримость, но это
открытие сыграло важную роль в становлении математики как теоретической
науки, ибо вызвало целый переворот в математическом мышлении и заставило
пересмотреть многие из представлений, которые вначале казались само собой
разумеющимися62.
Следует заметить, однако, что открытие несоизмеримости могло иметь место
только там и тогда, где и когда уже возникли основные контуры математики
как связной теоретической системы мышления. Ведь только тогда может
возникнуть удивление, что дело обстоит не так, как следовало ожидать, если
уже есть представление о том, как должно обстоять дело. Не случайно
открытие несоизмеримости принадлежит именно грекам, хотя задачи на
извлечение квадратных корней, в том числе и  EMBED Equation.2 
,
решались уже в древневавилонской математике, составлялись таблицы
приближенных значений корней. По-видимому, открытие несоизмеримости было
сделано именно потому, что пифагорейцы с энтузиазмом искали подтверждения
главного тезиса их учения "все есть число".
Можно допустить, что пифагорейцы обнаружили несоизмеримость при попытке
либо арифметически определить такую дробь, квадрат которой равен 2 (т.е.
арифметически вычислить сторону квадрата, площадь которого равна 2); либо
геометрически при отыскании общей меры стороны и диагонали квадрата; либо,
наконец, в теории музыки, пытаясь разделить октаву пополам, т.е. найти
среднее геометрическое между 1 и 2. В любом случае задача предстала перед
ними в виде отыскания величины, квадрат которой равен 263.
Несоизмеримость диагонали квадрата со стороной, т.е. иррациональность 
EMBED Equation.2 
, пифагорейцы доказывали, опираясь на главную, с их
точки зрения, "онтологическую" характеристику чисел, а именно на деление их
на четные и нечетные; доказательство велось от противного: если допустить
соизмеримость диагонали и стороны, то придется признать нечетное число
равным четному64. Признанию несоизмеримости, однако, предшествовали,
по-видимому, попытки преодолеть возникшее затруднение, ибо обнаружение
невыразимости в числах отношения диагонали к стороне квадрата наносило удар
по основному убеждению пифагорейцев, что "все есть число". Открытие
иррациональности, т.е. отношений, не выражаемых <целыми> числами, вызвало,
видимо, первый кризис оснований математики и нанесло удар по философии
пифагорейцев. Ибо целое число - КriJm"V - лежало, согласно Пифагору и его
последователям, в основе мироздания;
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128