ТОП авторов и книг     ИСКАТЬ КНИГУ В БИБЛИОТЕКЕ

А  Б  В  Г  Д  Е  Ж  З  И  Й  К  Л  М  Н  О  П  Р  С  Т  У  Ф  Х  Ц  Ч  Ш  Щ  Э  Ю  Я  AZ

 

поэтому все пропорции в мире должны
были быть выразимы в целых числах. Эта - исторически первая - теория чисел
теперь оказалась поставленной под вопрос.
Однако удар, нанесенный раннепифагорейской концепции числа, отнюдь не
отменил математической "программы" изучения природы, а только внес в эту
программу свои коррективы.
Видимо, последствием открытия иррациональности было усиление тенденции к
геометризации математики; появилось стремление геометрически выразить
отношения, которые, как оказалось, невыразимы с помощью арифметического
числа.
Вместо геометрической арифметики теперь развивается "геометрическая
алгебра": величины изображаются через отрезки и прямоугольники, с помощью
которых можно было соотносить между собой не только рациональные числа, но
и несоизмеримые величины.
Надо полагать, что переход к геометрической алгебре сопровождался также и
размышлением по поводу самих оснований пифагорейской математики. Может
быть, именно открытие несоизмеримости впервые поставило под вопрос
первоначальную пифагорейскую интуицию, что тела состоят из неделимых
точек-монад.
Попытки справиться с несоизмеримостью в конце концов привели к формулировке
аксиомы Евдокса (ее называют также аксиомой Архимеда), которая легла в
основу теории отношений несоизмеримых величин. Эта аксиома приводится
Евклидом в четвертом определении V книги "Начал": "Говорят, что величины
имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг
друга". А вот как формулирует Архимед эту аксиому в работе "О шаре и
цилиндре" (пятое допущение, или постулат Архимеда): "...б(льшая из двух
неравных линий, поверхностей или тел превосходит меньшую на такую величину,
которая, будучи складываема сама с собой, может превзойти любую заданную
величину из тех, которые могут друг с другом находиться в определенном
отношении"65.
Нам представляется, однако, что общее значение открытия иррациональности
для развития и математики, и науки в целом не исчерпывается указанными
последствиями, хотя внешне выражается прежде всего в них.
Дело в том, что это открытие впервые, быть может, заставило рождающуюся
греческую науку сознательно задуматься о своих предпосылках. Ведь те
понятия числа, точки, фигуры и т.д., которыми оперировали пифагорейцы
первоначально, еще не были логически прояснены и продуманы. Именно в этом,
кстати, упрекают пифагорейцев и Платон, и (еще больше) Аристотель. В самом
деле, числа у них не отделены от вещей, говорит Аристотель. Но ведь и
нельзя сказать, чтобы они у них сознательно и обоснованно отождествлялись с
вещами! Вопрос об онтологическом статусе чисел в этом плане просто не
возникал, а потому здесь и царила некоторая непроясненность,
неопределенность. Далее, Аристотель говорит, что у пифагорейцев фигуры
состоят из чисел, как из неделимых пространственных единиц. Но и здесь мы
имеем дело с такой же первоначальной непроясненностью: число выступает то
как единица, не отнесенная к пространству, к чувственному миру, то как
неделимая частица самого этого мира - такова у пифагорейцев точка. Ибо
именно так предстает пифагорейцу-математику единица, когда он дает
"полуарифметическое - полугеометрическое" (по словам Беккера) начертание
"тройки" (рис. 2) и "десятки" (рис. 5).
Открытие несоизмеримости стало первым толчком к осознанию оснований
математического исследования, к попытке не только найти новые методы работы
с величинами, но и понять, что такое величина.
Однако во весь рост проблему континуума перед философами и математиками
поставил Зенон из Элеи, выявив противоречия, связанные с понятием
бесконечности, и после него невозможно было вернуться к прежнему,
дорефлексивному оперированию математическими понятиями. Благодаря элеатам
началась логическая работа над исходными понятиями науки - напряженная
работа на протяжении V, IV и III вв. до н.э., завершившаяся созданием трех
главных программ научного исследования: математической, атомистической и
континуалистской.
Характерно, однако, что на всем протяжении этого бурного периода в развитии
философии и науки - с V по III в. до н.э. - можно выделить как бы два
направления философско-теоретической работы. Одно из них представлено теми
философами и учеными, которые прежде всего заняты проблемами обоснования
науки и логического уяснения и разработки ее понятий и методов. К нему
принадлежат Зенон, Демокрит, Платон, Аристотель, Теофраст и др. Другое
направление представлено в первую очередь математиками-"практиками" -
такими, как Архит Терентский, Евдокс Книдский, Менехм, Теэтет. Хотя эти
ученые отнюдь не чужды вопросам обоснования науки и глубоко проникнуты
заботой о логической четкости своих построений, но центр тяжести их
исследований лежит в другом: они конструируют модели движения небесных
светил, ищут способы решения математических задач, прибегая к помощи
циркуля и линейки, и не всегда ставят вопрос о логическом обосновании своих
методов.
Может быть, этим обстоятельством в какой-то мере объясняется тот факт, что
некоторые пифагорейские представления о числе, точке и т.д. сохранялись еще
у математиков до IV в. до н.э. включительно, несмотря на то что в строго
логическом обосновании математики к этому времени греческая мысль ушла
далеко от исходной точки благодаря критике Зенона, работе Платона и других
философов. А что пифагорейские представления о числе сохранялись до III в.
до н.э., можно судить по уже приведенным отрывкам из Аристотеля, да и по
некоторым книгам Евклидовых "Начал".
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128

ТОП авторов и книг     ИСКАТЬ КНИГУ В БИБЛИОТЕКЕ    

Рубрики

Рубрики