Хоппе, обращая
внимание на употребление Архимедом выражения katanohJэnai, утверждает, что
Архимед не мог бы его употребить, если бы Демокрит пользовался приемами
суммирования. Хоппе полагает, что скорее Демокрит в качестве физика
определил объем конуса и пирамиды экспериментально, путем взвешивания самих
тел или соответствующих им объемов жидкостей60. Такое допущение вполне
объясняло бы, почему Архимед считал, что положения Демокрита о конусе и
цилиндре не сопровождались доказательствами, а потому носили не строго
математический, но механический характер. Однако за неимением других
подтверждений точки зрения Хоппе, кроме филологического анализа глагола
katanoЪw, трудно считать решенным вопрос о характере тех механических
методов Демокрита, о которых сообщает Архимед.
Но если Демокрит и прибегал именно к методу суммирования, то его способ
суммирования, как показал В.П. Зубов, должен был существенно отличаться от
того способа, каким пользовался в "Эфоде" Архимед. "Уже было сказано, -
пишет Зубов, - что для Демокрита характерным являлось разложение величин на
элементы того же порядка (тел - на тела) в отличие от
платоновско-пифагорейских математиков, разлагавших тела на плоскости,
плоскости - на линии, линии - на точки. В "Эфоде" Архимед пользуется не
первым, а вторым приемом. Метод его основан на принципе: то, что
справедливо в отношении каждой пары элементов, применимо и в отношении всех
элементов одной совокупности ко всем элементам другой совокупности -
"каждый к каждому, как все ко всем". Если А:а = В:b = С:с = = D:d и т.д.,
то (А + В + С + Д...):(a + b + c + d...) = А:а. Рассматривая площади как
совокупности всех линий, объемы - как совокупности всех площадей, Архимед
выводит ряд квадратур и кубатур, например, определяет объем части цилиндра,
вписанного в прямую призму с квадратным основанием, которая отсекается
плоскостью, проходящей через ребро верхнего основания призмы и центр
нижнего основания.
Отличительной чертой такого доказательства является переход от соотношения
между величинами n-го измерения к соотношению между величинами n + 1
измерения. Это совсем не то, что построение тел из конечного числа
"неделимых тел", пусть даже число этих "неделимых" очень велико и они
практически не отличаются от точек"61.
Зубов, таким образом, показал, что "суммирование", к которому прибегает
Архимед, имеет в качестве своей предпосылки математические "неделимые", а
не физические атомы Демокрита, ибо, согласно исходным принципам Демокрита,
тела слагаются из неделимых тел, т.е. величин того же измерения.
Существенно иное истолкование получает проблема неделимых в эпоху
Возрождения, в частности у Галилея. Здесь в известном смысле теряет свое
значение характерное для античной науки различие математических и
физических неделимых, "точек" и "линий", с одной стороны, и неделимых тел,
"атомов", - с другой. Но это происходит благодаря радикальному изменению
исходных методологических принципов естествознания, пересмотру тех понятий,
которые были унаследованы от античной науки. Поэтому то, что было сделано в
эпоху Галилея, нельзя проецировать на греческую науку, что, по-видимому,
сделал С.Я. Лурье в своей работе "Теория бесконечно малых у древних
атомистов" (М.; Л., 1935).
Наука и философия нового времени строът совершенно новую модель связи
математики с физикой, и в свете этой новой модели античные программы,
оттесненные на задний план в средневековой науке, неожиданно приобретают
совершенно новое звучание: мы имеем в виду математическую программу
пифагорейцев и платоников, а также физическую программу Демокрита.
Чтобы избежать модернизации античной науки, в том числе и учения Демокрита,
необходимо, по-видимому, рассматривать его в условиях теоретической
ситуации того времени - как мыслителя, решающего вопросы, поставленные его
предшественниками и современниками, а не нами и не нашей современной
теоретической ситуацией. То же самое имеет силу и по отношению к другим
теоретическим позициям и научным школам.
Если не упускать из поля зрения, что ответ Демокрита был решением задач,
условия которых формулировались прежде всего двумя предшествующими
философскими направлениями - пифагорейцами и элеатами, то атомистическая
теория предстанет в исторической перспективе как физическая интерпретация
пифагорейского учения о "единицах", неделимых "монадах". В пользу этого
предположения говорит и свидетельство о том, что Демокрит, помимо того, что
он был учеником Левкиппа (а сам Левкипп - учеником Зенона)62, учился также
у кого-то из пифагорейцев63. Мы не можем поэтому согласиться с утверждением
Э. Франка, что пифагорейский тезис "все есть число" (а соответственно и
пифагорейское понятие неделимой "монады") представляет собой заимствование
у Демокрита. "...Легко видеть, - пишет Франк, что такие положения, как "все
есть число" или "единственно объективное познание есть математика",
непосредственно вытекают из воззрения атомизма, и только из него могут быть
поняты. Ибо если все есть атом или совокупность атомов, тогда, конечно, все
есть только число"64. При этом Франк ссылается на Аристотеля.
Рассмотрим свидетельства Аристотеля, которые приводит Франк. Вот одно из
них: "Может показаться, что все равно, говорить ли о единицах или маленьких
тельцах (как элементах души). В самом деле, если бы шарики Демокрита
превратились в точки, при сохранении (их) количества, то в этом (множестве)
будет иметься и движущее и подвижное, как в непрерывном"65.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128