е. между числами и вещами?
Обратимся за разъяснением вопроса о природе чисел и "математических
объектов" к самому Платону. Поясняя, что такое число, Сократ говорит своему
собеседнику: ""Как ты думаешь, Главкон, если спросить их (математиков. -
П.Г.): достойнейшие люди, о каких числах вы рассуждаете? Не о тех ли, в
которых единица действительно такова, какой вы ее считаете, - то есть
всякая единица равна всякой единице, ничуть от нее не отличается и не имеет
в себе никаких частей?" - как ты думаешь, что они ответят?
- Да, по-моему, что они говорят о таких числах, которые допустимо лишь
мыслить, а иначе с ними никак нельзя обращаться" (курсив мой. - П.Г.).
Итак, число - это идеальное образование, его нельзя воспринять чувственно,
а можно только мыслить. В чувственном мире невозможно найти "единицу,
которая ничем не отличалась бы от другой" - любой предмет чувственного
мира, любая чувственная "единица" отличается от другого предмета, от другой
"единицы", тождественны они лишь с точки зрения того, что каждый из
предметов мыслится как "один", а "один" равен "одному" только в мире
идеализаций. Как образования идеальные и постижимые только мыслью, числа не
отличаются от идей ("суть идеи", как говорит Аристотель).
Важным моментом в платоновском обосновании числа как чисто мыслительного
образования является положение о принципиальной неделимости единицы -
неделимости логической, поскольку сама единица теперь мыслится как
логическое начало. Согласно Платону, наука о числах "влечет душу ввысь и
заставляет рассуждать о числах самих по себе, ни в коем случае не допуская,
чтобы кто-нибудь подменял их имеющими число видимыми и осязаемыми телами.
Ты ведь знаешь, что те, кто силен в этой науке, осмеют и отвергнут попытку
мысленно разделить самое единицу, но если ты все-таки ее раздробишь, они
снова умножат части, боясь, как бы единица оказалась не единицей, а многими
долями одного".
Единица неделима, ибо она есть единое, а единое неделимо по определению.
Единица, согласно концепции Платона, рождает множество, но и само множество
имеет своим логическим условием единицу: ведь если нет единого, то нет и
многого, поскольку многое - это множество единиц. Единицу нельзя разделить
на том самом основании, которое Платон с предельной четкостью сформулировал
в заключительных словах к диалогу "Парменид": "Если единое не существует,
то ничего не существует".
Что же, однако, такое "математические вещи", или "математические объекты",
о которых говорит Аристотель, и чем они отличаются у Платона от чисел? Вот
что говорит об этом Платон: "Когда они (геометры. - П.Г.) пользуются
чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена не на чертеж, а на те
фигуры, подобием которых он служит. Выводы свои они делают только для
четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали,
которую они начертили. То же самое относится к произведениям ваяния и
живописи, от них может падать тень и возможны их отражения в воде, но сами
они служат лишь образным выражением того, что можно видеть лишь мысленным
взором" (курсив мой. - П.Г.).
Рассматривая эти соображения Платона в своей истории античной математики,
Б.Л. ван дер Варден полагает, что античные математики должны были быть
согласны здесь с Платоном. "И действительно, - пишет Варден, - для
прямолинейных отрезков, которые можно видеть и эмпирически измерять,
является бессмысленным вопрос, имеют ли они общую меру или нет: ширина
волоса уложится целое число раз в любом начерченном отрезке. Вопрос о
соизмеримости имеет смысл только для отрезков, создаваемых мыслью".
Платон, таким образом, различает геометрические фигуры, как они
представлены на чертеже, и "фигуры сами по себе", т.е. такие, которые
"можно видеть лишь мысленным взором". Видимо, последние как раз и есть те
"математические вещи", которые, по свидетельству Аристотеля, Платон
отличает от чисел и которые он считает промежуточными, помещая их между
миром идеального и чувственным миром.
"Математические объекты", стало быть, - это те образования, которыми
оперирует не арифметика, имеющая дело с числами, а геометрия, это фигуры:
окружности, треугольники, четырехугольники - и их элементы: радиусы, углы,
диагонали, биссектрисы и т.д., т.е. линии и плоскости, по-разному
сконструированные. К математическим Платон относит и "объекты"
стереометрии: шар, куб, тетраэдр, икосаэдр и др. Все это, согласно Платону,
объекты мысли, но они в то же время могут иметь чувственные подобия,
чувственные аналоги: в качестве таких подобий могут выступать не только
начерченные на песке или на восковой дощечке круги, треугольники и т.д., но
и вырезанные из дерева или из камня шары, кубы, пирамиды. Видимо, в этом
смысле Аристотель и говорит, что Платон считает числами и вещи, и причины
вещей, но причинами он считает числа умопостигаемые, а те, что воплощаются
в вещах, считает производными от первых. Точно так же и с геометрическими
объектами: те вещи, которые имеют форму шара или куба, Платон считает
чувственными подобиями идеального шара или куба, так же как чувственными
подобиями геометрических фигур являются их чертежи.
Понятие пространства у Платона и онтологический статус геометрических
объектов
Но почему же числа и геометрические объекты оказываются у Платона имеющими
разный статус: числа - чисто идеальные сущности, а линии, углы, фигуры -
сущности "промежуточные"? В соответствии с этим различением арифметика
выступает у Платона и Аристотеля как первая в ряду математических наук и
наиболее среди них "простая", а тем самым и более достоверная, чем
геометрия.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128