В британском музее хранится папирус Ринда, написанный Ахмесом за 2000 лет до Р. Хр., в котором автор называет своё решение сводом правил, известных ещё гораздо раньше. По Ахмесу, сторона квадрата, равновеликого площади круга, равна восьми девятым диаметра (так что p = 3,16). – У древних вавилонян и евреев принималось, что окружность ровно втрое больше диаметра и следовательно, p=3. – У греков, по словам Платона, К. круга занимался уже Анаксагор, во время своего пребывания в изгнании (V в. до Р. Хр.). Первая попытка указать «пределы» для числа p была сделана Бризоном, который справедливо говорит, что окружность круга должна быть меньше периметра многоугольника, описанного около неё и больше периметра вписанного в нее многоугольника. Гиппократ старался определить площадь круга при помощи так наз. «луночек». Динострат спрямил окружность при помощи построения особой кривой «квадратриссы». Замечательно, что знаменитый Евклид в своих «Элементах» геометрии совершенно не упоминает о К. круга и рассматривает только отношение площадей кругов разных радиусов. Совершенно самостоятельно и независимо от предшественников взглянул на эту задачу Архимед. Он вычислил периметры вписанных и описанных 96-ти угольников и показал, что величина p заключается между пределами 31/7 и 310/71; число 31/7= 22/7 и до сих пор во многих практических вопросах считается весьма удобным и достаточным приближением для p. Достойно удивления, что свои сложные и продолжительные вычисления Архимед производил во времена, когда не употреблялась ещё арабская система счисления. Птолемей дал для p число 317/120, более точное, чем 31/7, но оно не вошло в употребление, будучи найдено позднее более простого числа Архимеда. В Кулвазутрасе, весьма древнем математическом сочинении индусов, находится решение задачи, обратной К. круга: построить круг, равновеликий данному квадрату; по этому решению радиус искомого круга равен половине стороны квадрата, увеличенной на треть разности между половиной диагонали и половиной стороны данного квадрата. Ариабхатта (500 л. по Р. Хр.) вычислил p = 3,1416; это число точнее, чем приближения Архимеда и даже Птолемея, так как вычислитель, следуя методу Архимеда, дошёл до 384-х угольника. Другой индийский математик Браматупта (VII в.) нашёл, что ; это число, как связанное с десятичной системой счисления, долгое время считалось лучшим приближением и неизменно употреблялось потом всеми арабскими математиками. В китайских книгах найдена величина p = 37/50, которая менее точна, чем число Архимеда. В Европе изыскания К. круга начались лишь с XV в. Кардинал Николай Куза нашёл следующее решение: по данному кругу должно построить другой, диаметр которого равен радиусу данного круга плюс сторона вписанного в него квадрата. Тогда периметр вписанного во второй круг равностороннего треугольника равен окружности данного круга. Легко рассчитать, что это приближение хуже приближения Архимеда. Симон Ван-Эйк в конце XVI в. обнародовал сложное построение, которое даёт для p величину, более точную, чем приближение Архимеда. Чтобы доказать неверность этого построения, другой голландский математик Адриан Мециус занялся изысканием для p величины более точной чем 22/7. Таким образом ошибочное построение Ван-Эйка было поводом к открытию знаменитой и легко запоминаемой дроби 355/113, которая представляет отношение окружности к диаметру с точностью до 0,000001. Не лишнее заметить, что ныне, при помощи теории непрерывных дробей доказано, что при употреблении только трехзначных чисел, никакие два другие числа не могут представить величину p точнее, чем отношение 355:113, найденное Мециусом. Неутомимый вычислитель Романус, применяя способ Архимеда, дошёл до многоугольников о 1073741824 сторонах, т. е. числа сторон, равного 230. Но Лудольф Ван-Цейлен превзошёл его и для p дал число с 35-ю десятичными знаками. Это число, названное «лудольфовым», равно:
3,14159265358979323846264338327960288.
Снеллиус и Гюйгенс в XVII в. указали новые пути, дающие возможность, рассматривая многоугольники с меньшим числом сторон, находить приближения для p гораздо скорее и с большим числом десятичных знаков. Однако, вычислительные приёмы сделались ещё проще с тех пор, как для величины p начали открывать формулы, составленные из бесконечного повторения операций над известными числами. Первая мысль отыскать такие формулы принадлежит Виету; он дал ряд
по которому и вычислил сам величину p до 4-х десятичных знаков. Валлис дал другое замечательное произведение, а Грегори, и, независимо от него Лейбниц открыли ряд:
Оригинальный ряд, откуда получается предыдущий как частный случай, есть arctg где а есть тангенс центрального угла в круге, которого радиус равен единице. На основании этого ряда легко составить и такой:
где а, b, с.... суть тангенсы углов, которых сумма равна 45°. Выбрав а, b, с.... малыми, лёгкими для обработки и удовлетворяющими поставленному условию углами, получаются вообще весьма удобные для вычисления ряды. По этому способу лондонский проф. Мехин в 1706 г. вычислил p с 100 десятичными знаками. Он положил
и , т. е. употребил ряд:
До сих пор это лучшая и удобнейшая формула для приближенного вычисления p. Тем не менее открывают и новые ряды, так лорд Брункер представил p в виде непрерывной дроби:
Много строк, бесконечных произведений и непрерывных дробей, дающих p, открыты знаменитым Эйлером, например:
По разным подобным формулам современные математики вычисляют величину p с гораздо большей степенью приближения, чем прежние. Дазе нашёл 200 цифр, Рихтер 500, а Шанкс даже 700. Однако, такое точное вычисление не имеет ни теоретического интереса ни практического значения.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378