В своем историческом развитии геометрия раскрыла вначале сравнительно конкретные, лежащие на виду свойства пространства и лишь позднее наиболее глубокие.
Самыми первыми еще в античные времена оказались выделенными метрические свойства. Они связаны с измерением и имеют ту особенность, что при движении фигур сохраняются. Стул, например, при любых перемещениях, поворотах остается стулом. Или, если станем перемещать отрезок прямой, равный 10 сантиметрам, его длина так и будет 10 сантиметров; сохранятся также расстояния между точками этого отрезка.
Затем были выявлены другие, более глубокие особенности пространства.
Скажем, если тот же отрезок подвергнуть равномерному сжатию или растяжению, то его размеры, расстояния между точками, конечно, изменятся, значит, метрические свойства не сохранятся. Но что-то же остается неизменным? Да середина отрезка. К примеру, независимо от того, растягиваем мы его или сжимаем, середина все равно остается серединой, так же как 1/3 отрезка будет при этом 1/3 и т. д.
Эти признаки называют афинными.
Были обнаружены также проективные и другие особенности фигур. Наконец, уже во второй половине XIX века сумели подойти к таким характеристикам пространства, как топологические, наиболее глубоко «запрятанные» природой и потому потребовавшие особенно сильных отвлечений и абстракций.
Топологические свойства не зависят от размеров (длин, углов, площадей), от прямолинейности. Допускаются любые преобразования фигур, лишь бы при этом они сохраняли непрерывность. Скажем, окружность можно как угодно искривить, растянуть или, наоборот, «смять» в комок и прочее, но топологически она останется все той же фигурой. Ее нельзя только разрывать.
Поэтому топологическую геометрию называют «качественной».
Однако самое удивительное, самое парадоксальное обнаружилось в том, что дети овладевают топологическими признаками легче, чем другими геометрическими свойствами. То есть абстрактное оказывается доступнее пониманию, нежели конкретное.
А не об этом ли говорит и опыт обучения в современной начальной школе? Теперь оно начинается не с конкретного, каким является арифметика, а с абстрактного— с математики вообще. Первыми изучают не числа, а отношения между совокупностями: «больше», «меньше», «равно».
ЭЛЕКТРОДЫ, НОЖИ И ВИЛКИ
А теперь попытаемся осветить наш прием, так сказать, изнутри, поставив себя на место исследователя, который его использует.
Когда конкретная задача осознается в качестве общей, это открывает простор для привлечения широкого кр"га идей, сближения разнообразных точек зрения, для синтеза разнородных концепций и т. д.
Д. Пойа в книге «Как решать задачу» описывает метод видоизменения. Он советует попытаться подойти к задаче под разными углами зрения. Проводится сравнение с полководцем, который, говорит Д. Пойа, приняв решение взять крепость, изучает все позиции, чтобы найти более удобную.
Умение варьировать задачу — показатель возможностей интеллекта. Здесь как в природе: чем выше noложение вида в эволюционном ряду, тем сильнее его способность разнообразить свое поведение, что и предопределяет успех в жизненной борьбе. Насекомое, например, попав в комнату, бьется о стекло в одном и том же месте. Оно даже не пытается вылететь в соседнее окно.
Мышь гораздо смышленее. Она меняет направление действий, стремясь пролезть сквозь прутья клетки то в одном, то в другом месте. Человек поступает в высшей степени разнообразно. Оказавшись в запертом помещении, он испытывает не только дверь, но и окна, дымоход, подполье…
Видоизменение исследовательской задачи и понуждает ученого мобилизовать при ее решении все наличное знание, заглянуть в закоулки памяти, пробудить к активному использованию разнородную информацию. Благодаря этому удается извлечь из наличных сведений максимум ассоциаций и привлечь их к решению темы.
Здесь отчетливо проявляется природа творчества, непременными условиями которого многие исследователи считают два: богатство идей и строгий отсев неудачных попыток. То же самое происходит, кстати, и в природе. В эволюционных процессах наблюдаем вначале также богатство вариантов (изменений в организмах вида), а зггем — браковку ситом естественного отбора тех, которые оказываются плохо приспособленными к внешней среде.
По мнению известного английского кибернетика У. Эшби, творческое мышление есть способность проводить селекцию гипотез. Потому сила гения и состоит в способности не столько создавать новые идеи (на это горазды многие), сколько в том, чтобы определить, какая из них действительно гениальна. Созвучные мысли высказывает Ж. Адамар, специально изучавший механизмы научного открытия, или, как он говорил, изобретения. Он утверждал: изобретать — значит выбирать. То, что зовут талантом, заключается главным образом не в конструировании новых теорий, а скорее в способности оценивать произведенную продукцию. Такова, по крайней мере, обстановка в математике.
Понятно, чем разнообразнее число идей, гипотез, чем шире набор вариантов и ассоциаций, которыми располагает исследователь, тем более возможностей для такого отбора и тем вероятнее ожидание удачи. Вот здесь и способен оказать свои услуги метод видоизменения темы.
Когда сосредоточивают внимание только на одной проекции предмета, она заслоняет все остальные, и исследователь рискует упустить другие, быть может, более продуктивные стороны. Притом вновь стоит подчеркнуть роль уже упоминавшегося «периферического» зрения, которое позволяет увидеть контуры важных вещей вне той области, где ожидается появление нового.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77