А получается наоборот. Получается, что к абстрактной, отрешенной от практики проблеме можно подобрать ключи быстрее, чем к проблеме, насыщенной конкретным, опытным содержанием.
И все же, сколь ни парадоксально положение, ему находятся удовлетворительные, можно сказать, вполне беспарадоксальные объяснения. По прежде чем рассказать о них, обратимся к свидетельствам истории науки.
Уже древним мыслителям означенный поворот мысли был ведом. Упомянутый прием лежит, в частности, в основе изобретенного еще на рубеже V — IV веков до нашей эры древнегреческим математиком Евдоксом метода «исчерпывания». Он применялся для измерения площадей конкретных фигур или объемов определенных тел и других частных задач, но был найден как общий методой представлял собой достаточно эффективный способ, явившийся предтечей интегрального исчисления.
И конечно же, мы не можем пройти мимо факта, хотя и снискавшего хрестоматийную известность, но очень убедительно демонстрирующего наш парадокс.
В III веке до н. э. тиран города Сиракузы Гиерон поручил однажды своему подданному Архимеду (находившемуся, кстати сказать, в близком родстве с Гиероном) определить, не подмешано ли к его золотой царской короне, изготовленной ювелирами, менее благородное серебро. Эту сугубо частную задачу Архимед смог решить лишь как общую, выявив знаменитый закон «подъемной силы», действующей на погруженное в жидкость тело.
…Долго бился Г. Лейбниц над задачей проведения касательной к кривой в заданной точке. Задача пришла из области строительной архитектуры и представлялась достаточно частной, но никак не давалась. А не пойти ли в обход, подумал ученый? То есть не решать ли не эту, а другую задачу, более общую, которая включала бы исходную в качестве одного из вариантов, но была значительно легче? Конкретно дело обстояло так.
Г. Лейбниц представил, что разыскивает не касательную, а прямую, пересекающею нашу кривую в данной точке (точке касания) и в некоторой другой, удаленной от первой известным расстоянием. В результате речь шла уже о проведении секущей. А это не составляло особого труда и осуществлялось благодаря уже разработанным приемам; скажем сильнее: с этой задачей мог справиться и школьник, знающий уравнение прямой.
Но, решив это, находим касательную уже как частный случай, именно путем сближения точек, когда расстояние между ними по дуге оказывается минимальным и в точке касания сводится к нулю, исчезает.
Так было изобретено дифференциальное исчисление — мощный, применимый во всех науках метод.
Определение же касательной — лишь эпизод в обширном классе проблем, которые могут быть решены с помощью этого всесильного математического аппарата.
Будучи не только математиком, но и философом, Г. Лейбниц не преминул выступить с методологическим наставлением. Он записывает: решая познавательною задачу, полезно «придумать какую-нибудь другую, общую задачу, которая содержит первоначальную и легче поддается решению». Как видим, это одно из первых осознаний (или, как нынче стало модным говорить, одна из рефлексий) «парадокса изобретателя». Затем последовало его использование в качестве инструмента эвристики.
Аналогичный прием, то есть поиск общего решения частной проблемы, лежал и у истоков интегрального исчисления.
Об И. Кеплере в ту пору, когда он стал знаменитым астрономом, императорским математиком и математиком провинции Верхняя Австрия (других титулов за неимением места не приводим), рассказывают. В 1613 году 42-летний ученый только что начал новую жизнь со второй женой Сусанной. Как заботливый муж, он решил запастись вином, благо был небывалый урожай винограда и вино стоило дешево. Когда бочки доставили во двор, появился купец, который, пользуясь лишь мерной линейкой, уверенно определял количество вина. Он опускал линейку в отверстие сосуда до упора в угол днища и после этого объявлял число амфор (тогдашняя мера емкости).
И. Кеплер был поражен простотой операции и даже усомнился в ее надежности. Ведь бочки не имели правильной цилиндрической формы. Как же наклонный отрезок между двумя определенными точками мог служить мерой вместимости? Тем более что, как знал И. Кеплер, в других местах, на Рейне например, те же операции вычисления были громоздкими.
Сомнения побудили ученого исследовать, как он пишет, «геометрические законы такого удобного и крайне необходимого в хозяйстве измерения, а также выяснить ею основания, если таковые имеются». Основания действительно нашлись. Да еще какие!
Так частная задача выросла до масштабов общей и решена в качестве общей: измерение объемов, очерченных кривыми поверхностями. Интересно, что книгу, в которой излагался новый метод, И. Кеплер назвал «Стереометрия винных бочек». Таким образом, он сохранил указание на то, чему обязано своим рождением интегральное исчисление.
Стоит заметить, что исходная задача была здесь особенно узкой, она оказалась даже не научной, а хозяйственной. То есть столь прозаической, что, по-видимому, только гений, подобный И. Кеплеру, мог, не смущаясь, заняться ею и поднять до теоретического понимания.
Математика не исключение. Выбор математического материала лишь выдает желание более выпукло оттенить эффективность метода, затаившегося под сенью «парадокса изобретателя». Ибо математика — наука наиболее глубоких возможностей.
Прием оправдал себя и в других обстоятельствах.
Позволим еще одно пояснение.
В 1854 году к знаменитому Л. Пастеру обратились виноделы города Лилля (Франция). Очевидно, они имели на это право: несколько лет назад именно в их городе Л.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77