10.3). Колебательные вклады в энергию кратны 1/10, а топологические вклады кратны 10. В результате получаются перечисленные значения полной энергии. Единицей измерения энергии является планковская энергия, т. е., например, 10,1 в правом столбце соответствует значению 10,1, умноженному на планковскую энергию Таблица 10.2 Аналогична табл. 10.1, но значение радиуса выбрано равным 1/10 Таблица 10.1 Таблица 10.2 Колебательное число Топологическое число Полная энергия Колебательное число Топологическое число Полная энергия 1 1 1/10+ 10= 10,1 1 1 10+1/10= 10,1 1 2 1/10 + 20 = 20,! 1 2 10 + 2/10= 10,2 1 3 1/10 + 30 = 30,1 1 3 10 + 3/10= 10,3 1 4 1/10 + 40 = 40,1 1 4 10 + 4/10= 10,4 2 1 2/10+10= 10,2 2 1 20+1/10 = 20,1 2 2 2/10 + 20 = 20,2 2 2 20 + 2/10 = 20,2 2 3 2/10 + 30 = 30,2 2 3 20 + 3/10 = 20,3 2 4 2/10 + 40 = 40,2 2 4 20 + 4/10 = 20,4 3 1 3/10+ 10= 10,3 3 1 30+1/10 = 30,1 3 2 3/10 + 20 = 20,3 3 2 30 + 2/10 = 30,2 3 3 3/10 + 30 = 30,3 3 3 30 + 3/10 = 30,3 3 4 3/10 + 40 = 40,3 3 4 30 + 4/10 = 30,4 4 1 4/10+ 10= 10,4 4 1 40+ 1/10 = 40,1 4 2 4/10 + 20 = 20,4 4 2 40 + 2/10 = 40,2 4 3 4/10 + 30 = 30,4 4 3 40 + 3/10 = 40,3 4 4 4/10 + 40 = 40,4 4 4 40 + 4/10 = 40,4 Предположим теперь, что радиус циклического измерения сужается, скажем, с 10 до 9,2, затем до 7,1 и далее до 3,4, 2,2, 1,1, 0,7 и т.д. до 0,1 (1/10), где, в нашем примере, процесс сужения прекращается. Для такой геометрически иной формы вселенной Садового шланга можно построить аналогичную таблицу энергий струн. В ней топологические вклады кратны 1/10, а колебательные вклады кратны обратному значению, т.е. 10. Результаты сведены в табл. 10.2.На первый взгляд может показаться, что таблицы совершенно различны. Но при более пристальном рассмотрении видно, что в столбцы полной энергии в обеих таблицах входят одинаковые элементы, хотя они и расположены в разном порядке. Чтобы найти элемент табл. 10.2, соответствующий данному элементу табл. 10.1, нужно просто поменять местами топологическое и колебательное число. Иными словами, колебательные и топологические вклады взаимно дополняют друг друга при изменении радиуса циклического измерения с 10 до 1/10. Поэтому с точки зрения полных энергий струн нет различия между этими двумя размерами циклического измерения. Как обмен типов акций в точности компенсировался обменом числа акций каждой из двух компаний, так и замена радиуса 10 на 1/10 в точности компенсируется заменой топологических и колебательных чисел. Кроме того, значения начального радиуса R — 10 и его обратного значения 1/10 выбраны в данном примере лишь для простоты, и результат будет тем же для любого радиуса3).Табл. 10.1 и 10.2 не полны по двум причинам. Во-первых, как указано выше, здесь выбраны лишь некоторые из бесконечного набора колебательных и топологических чисел, возможных для струны. Это, разумеется, не является серьезной проблемой — мы могли бы строить таблицу до тех пор, пока не иссякнет терпение, и убедились бы, что указанное свойство продолжает оставаться справедливым. Во-вторых, кроме топологического вклада в энергию мы до сих пор учитывали лишь однородные колебания струны. Сейчас необходимо учесть и обычные колебания, так как они дают дополнительный вклад в полную энергию струны и, кроме того, определяют переносимый струной заряд. Здесь важно отметить, что исследования свидетельствуют о независимости этих вкладов от радиуса. Поэтому, даже если эти вклады были бы включены в табл. 10.1 и 10.2, таблицы все равно точно соответствовали бы друг другу, так как обычные колебательные вклады учитывались бы в каждой таблице совершенно одинаковым образом. Следовательно, можно заключить, что массы и заряды частиц во вселенной Садового шланга радиусом R идентичны массам и зарядам частиц во вселенной Садового шланга радиусом \/R. А так как именно эти массы и заряды управляют фундаментальными физическими законами, нет никакого физического различия между двумя геометрически различными вселенными. Результаты любого эксперимента в одной вселенной и соответствующего эксперимента в другой вселенной будут в точности совпадать. Спор двух профессоров После превращения в двумерные существа Джордж и Грейс стали профессорами физики во вселенной Садового шланга. Они основали конкурирующие лаборатории, сотрудники каждой из которых вскоре заявили о том, что им удалось определить размер циклического измерения. На удивление, при всей безупречной репутации каждой лаборатории в области высокоточных исследований, результаты оказались разными. Джордж уверен в том, что радиус (в единицах планковской длины) равен R = 10, а Грейс утверждает, что значение радиуса равно R = 1/10.«Грейс, — говорит Джордж, — мои вычисления по теории струн показывают, что если радиус циклического измерения равен 10, то энергии наблюдаемых мной струн должны соответствовать табл. 10.1. Я провел масштабные эксперименты на новом ускорителе с энергиями порядка планковской, и результаты в точности подтвердили это предположение. Следовательно, я совершенно определенно заявляю, что радиус циклического измерения равен R = 10». В свою очередь, Грейс приводит в защиту своего результата в точности те же доводы, но ее вывод состоит в том, что зарегистрированы значения энергий из табл. 10.2, и радиус, таким образом, равен R = 1/10.Озаренная проблеском интуиции Грейс демонстрирует Джорджу, что несмотря на разное расположение элементов эти таблицы тождественны. Джордж, который, как всем известно, соображает несколько медленнее Грейс, отвечает: «Но как такое возможно? Я знаю, что, согласно принципам квантовой теории и свойствам намотанных струн, различные значения радиуса должны приводить к разным возможным значениям энергий и зарядов струн. И если эти значения согласуются, то и значения радиуса также должны находиться в согласии».
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175