Однако, так как данный момент достаточно тонкий, возможно, имеет смысл привести технические подробности для читателя, склонного к математическому образу мышления. В обычной квантовой механике точечных частиц расстояние и импульс (по существу, энергия) связаны преобразованием Фурье. Иными словами, собственный вектор оператора координаты \х) на окружности радиусом R можно определить как, где р = v/R, а \р) есть собственный вектор оператора импульса (прямой аналог того, что мы называли общей колебательной модой струны — движение без изменения формы). В теории струн, однако, есть еще один собственный вектор оператора координаты, определяемый состояниями намотанной струны:,

где — собственный вектор для намотанной струны с. Из этих определений немед-

ленно следует, что х периодична с периодом 2?R, а х периодична с периодом 2?/R, так что х есть координата на окружности радиусом R, а — координата на окружности радиусом 1/R. Более конкретно, можно рассмотреть два волновых пакета, распространяющихся из начала координат и эволюционирующих во времени, с помощью которых можно дать практическое определение расстояния. Радиус окружности, измеренный с помощью каждого из пакетов, будет пропорционален времени возвращения пакета в исходную точку. Так как состояние с энергией Е эволюционирует с фазовым множителем, пропорциональным Et, видно, что время, а, следовательно и радиус, равны t ~ 1/Е ~ R для колебательных мод и t ~ 1/Е ~ 1/R для топологических мод.
5. Для читателя, сведущего в математике, отметим, что число семейств колебательных мод струны равно половине абсолютного значения эйлеровой характеристики многообразия Калаби-Яу, как указано в примечании 16 к главе 9. Эта величина равна абсолютному значению разности
где обозначает число Ходжа (p,q). С точ-

ностью до константы эти значения равны числу нетривиальных гомологии 3-циклов (трехмерных отверстий) и числу гомологии 2-циклов (двумерных отверстий). Таким образом, хотя в основном содержании говорится о полном числе отверстий, более точный анализ показывает, что число семейств зависит от абсолютного значения разности между числами четномерных и нечетномерных отверстий. Выводы, однако, те же самые. Например, если два пространства Калаби-Яу отличаются перестановкой соответствующих чисел Ходжа и, то число семейств частиц — полное число отверстий — не изменится.6. Название объясняется тем, что «ромбы Ходжа», математические выражения чисел отверстий различных размерностей для пространств Калаби-Яу, являются зеркальными отражениями друг друга для каждой зеркальной пары.7. Термин зеркальная симметрия используется в физике и в других контекстах, совершенно не связанных с данным, например, в связи с понятием киральности, т. е. в связи с вопросом о том, является ли Вселенная инвариантной относительно замены правого на левое (см. примечание 7 к главе 8). Глава 11 1. Для читателя, склонного к математической строгости рассуждений, будет понятно, что вопрос состоит в том, является ли топология пространства динамической, т. е. может ли она меняться во времени. Отметим, что хотя представление о динамических изменениях топологии часто используется в этой книге, на практике обычно рассматриваетсяоднопараметрическое семейство пространственно-временных многообразий, чья топология меняется при изменении параметра семейства. Формально этот параметр не является временем, но в определенном контексте может с ним отождествляться.2. Для математически подкованного читателя отметим, что процедура включает сдутие рациональных кривых на многообразии Калаби-Яу. Далее используется тот факт, что при определенных условиях образовавшаяся сингулярность может быть устранена серией последовательных раздутий.3. К. С. Cole, New York Times Magazine, October 18, 1987, p. 20. Глава 12 1. Цитируется по книге: John D. Barrow, Theories of Everything. New York: Fawcett-Columbine, 1992, p. 13. (В рус. пер. цитата есть в книге: Кузнецов Б. Г. Эйнштейн: Жизнь. Смерть. Бессмертие. М: Наука, 1980, с. 363.)
2. Кратко поясним различия между пятью теориями струн. Для этого отметим, что колебательные возбуждения вдоль струнной петли могут распространяться по часовой стрелке и против нее. Теории струн типов IIА и IIB отличаются тем, что в последней теории колебания в обоих направлениях идентичны, а в первой теории противоположны по форме. Противоположность в данном контексте имеет точный математический смысл, но нагляднее всего ее можно представлять в терминах вращений колебательных мод в каждой теории. В теории типа IIВ оказывается, что все частицы вращаются в одном направлении (у них одна и та же киральность), а в теории типа IIА — в разных направлениях (у них разная киральность). Тем не менее, в каждой теории реализуется суперсимметрия. Две гетеротические теории имеют аналогичные, но более эффектные отличия. Все моды колебаний по часовой стрелке выглядят так же, как и моды струн типа II (если рассматривать только колебания по часовой стрелке, то теории струн типов ПА и IIB идентичны), но колебания против часовой стрелки совпадают с колебаниями исходной теории бозонных струн. Хотя в бозонных струнах возникают неразрешимые проблемы, если рассматривать их колебания в обоих направлениях, в 1985 г. Дэвид Росс, Джеффри Харви, Эмиль Мартинек и Райан Ром (все они в то время работали в Принстонском университете и их прозвали «Принстонский струнный квартет») показали, что при использовании этих струн в комбинации со струнами типа II получается вполне согласованная теория. Однако в этом союзе была странная особенность, известная со времен работ Клода Лавлейса из университета Ратчерса 1971 г.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175