3.4 и 3.6. Гениальность Эйнштейна состояла в осознании того, что эти математические идеи были идеально приспособлены для выражения его новых взглядов на гравитационное взаимодействие. Он смело заявил о том, что математические понятия римановой геометрии безупречно согласуются с физикой гравитации.Но сейчас, почти век спустя после научного подвига Эйнштейна, теория струн дает нам квантово-механическое описание гравитации, требующее пересмотра общей теории относительности на длинах порядка планковской. А так как в основе общей теории относительности лежит понятие римановой геометрии, то и само это понятие должно быть модифицировано для соответствия новой физике, возникающей на малых расстояниях в теории струн. И если в общей теории относительности постулируется, что свойства искривленного пространства Вселенной описываются геометрией Римана, то в теории струн утверждается, что данный постулат справедлив лишь в случае, когда структура Вселенной рассматривается на достаточно больших масштабах. На длинах порядка планковской должна вступать в игру новая геометрия, согласующаяся с новой физикой теории струн. Эту новую геометрию называют квантовой геометрией.В отличие от геометрии Римана, здесь нет готовых геометрических рецептов, уже описанных в книгах по математике и пригодных для того, чтобы занимающиеся струнами физики могли взять их на вооружение и использовать в этой науке. Напротив, современные физики и математики погружены в исследования в теории струн, по крупицам собирая знания, которые лягут в основу новой области физики и математики. И хотя основная часть работы еще впереди, в ходе этих исследований уже было открыто много новых диктуемых теорией струн геометрических свойств пространства-времени, которые наверняка произвели бы впечатление и на самого Эйнштейна. Суть римановой геометрии При прыжках на батуте его упругие волокна растягиваются под весом человеческого тела, и батут деформируется. Сильнее всего растяжение вблизи тела человека, а по мере приближения к краям батута растяжение менее заметно. Это наглядно видно, если на батут нанесено знакомое изображение (например, Мона Лиза). Если на батуте никто не стоит, изображение выглядит нормально, но если на батут встает человек, изображение искажается, в особенности непосредственно под человеком (см. рис. 10.1).
Рис. 10.1. Если на батуте с нанесенным изображением стоит человек, изображение сильнее всего искажается под весом тела человека. Этот пример иллюстрирует важнейший принцип описания искривленных поверхностей, принятый в математической формулировке Римана. На основе более ранних наблюдений Карла Фридриха Гаусса, Николая Лобачевского, Яноша Бойяи и других математиков, Риман показал, что детальный анализ расстояний между всеми точками на поверхности объекта или внутри него дает способ вычисления значения кривизны. Грубо говоря, чем больше (неоднородное) растяжение, тем сильнее отклонение от формулы для расстояний в плоском случае, и тем больше кривизна объекта. Например, батут сильнее всего растягивается под ногами человека, и поэтому расстояния между точками в этой области будут сильнее всего отличаться от расстояний в случае ненагруженного батута. Следовательно, кривизна батута здесь будет максимальной. Это интуитивно ясно из приведенного рисунка: именно в таких точках изображение на батуте искажено сильнее всего.Эйнштейн использовал математические результаты Римана и дал им точную физическую интерпретацию. Как обсуждалось в главе 3, Эйнштейн показал, что гравитационное взаимодействие обусловлено кривизной пространства-времени. Рассмотрим эту интерпретацию более подробно. С математической точки зрения, кривизна пространства-времени, подобно кривизне батута, означает искажение расстояний между точками. С физической точки зрения, действие гравитационной силы на тело есть прямое следствие этого искажения расстояний. По мере того как размеры тел уменьшаются, физика и математика должны согласовываться все лучше и лучше, потому что абстрактное математическое понятие точки становится все ближе к физической реальности. Однако теория струн ограничивает точность, с которой геометрическая формулировка Римана может соответствовать физической природе гравитации, ибо накладывает ограничение на минимальный размер, который вы можете придать физическому телу. Как только вы спускаетесь до размера струны, дальше дороги нет. В теории струн не существует традиционного понятия точечной частицы: в противном случае с помощью теории струн было бы невозможно реализовать квантовую теорию гравитации. Это определенно свидетельствует о том, что риманова геометрия, в основе которой лежат вычисления расстояний между точками, на ультрамикроскопических масштабах модифицируется теорией струн.Такое наблюдение несущественно для стандартных приложений общей теории относительности к изучению макросистем. Например, проводя исследования в области космологии, физики, не задумываясь, рассматривают огромные галактики в качестве точек, так как размер галактик пренебрежимо мал по сравнению с размером Вселенной. Этот грубый подход к формулировке римановой геометрии оказывается, тем не менее, исключительно точным — в области космологии успех общей теории относительности очевиден. Однако в ультрамикроскопической области в силу протяженных свойств струн риманова геометрия просто не является подходящим математическим формализмом. Как мы увидим ниже, она должна быть заменена квантовой геометрией теории струн, и эта замена приведет к возникновению поразительных и неожиданных новых эффектов.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175