Например, закон Ньютона очень элегантно формулируется на языке
«систем отношений», закон Ома и др.
Другой наш физик, Ю.С. Владимиров, подхватил эти идеи и попытался их реализ
овать на уровне элементарных частиц, построить на основе «систем отноше
ний» фундаментальную физику. И продвижения здесь есть, очень большие про
движения. Недавно у него вышла монография «Метафизика». Он не побоялся д
аже использовать такое, совершенно незаслуженно «опошленное», если мож
но так сказать, слово; он имеет на это право. Там действительно очень больш
ие продвижения.
И, наконец, я подхожу к тому, что же все-таки является основой алгебродина
мического подхода: это исключительные алгебры. Давайте перейдем к ним, т
о есть к математическим основаниям моего подхода.
Что такое исключительная алгебра? Наверное, большинство учило комплекс
ные числа: это пара чисел с законами сложения и вычитания обычными, поком
понентными, и с простым законом умножения, который, в общем-то, просто сле
дует из того, что вы добавляете символ «корень из минус 1», так называемую
«мнимую единицу» «I», квадрат которой равен минус единице. Красивейшая в
ещь. Они соответствуют определенной геометрии: геометрии плоскости. Все
знают, что комплексное число можно изобразить на плоскости.
Оказывается, что их немного, таких законов. И если закон умножения компле
ксных чисел соответствует геометрии двумерного мира плоскости, то возн
икает вопрос: а может быть, какая-то числовая система такого же типа соотв
етствует нашему трехмерному пространству. А если говорить о теории отно
сительности, которую мы давно уже «приняли на вооружение», то и 4-мерному
пространству, так называемому пространству Минковского.
Это старая идея. И реализовал ее, открыл алгебру трехмерного пространств
а великий физик Уильям Гамильтон. Известна даже дата, когда он это сделал.
На мосту в Дублине через Королевский канал имеется табличка, где написан
о: «здесь 16 октября 1843 года Уильям Гамильтон открыл свою таблицу умножения
кватернионов». Гамильтон, который предложил самую элегантную из извест
ных трактовку классической механики, который много сделал в оптике, в ча
стности предложил оптико-механическую аналогию, Ц он больше всего в св
оей жизни ценил и дорожил открытием кватернионов. Удивительно. И всю сво
ю оставшуюся жизнь после этого открытия он посвятил разработке этой алг
ебры.
Дайте, пожалуйста, формулу № 2. Здесь, в отличие от комплексных чисел, имеет
ся не две и даже не три, а четыре базисных единицы: одна действительная и т
ройка мнимых единиц, как бы три «I»: «I, J, К». Квадрат каждой из них равен минус
единице, так же как для комплексных чисел. Но, кроме того, и в этом была вся
тонкость, почему эту алгебру не могли открыть раньше, между мнимыми един
ицами имеется весьма специфическое взаимное умножение: каждая пара пер
емноженных мнимых единиц приводит в результате к третьей. Самое забавно
е при этом, что если переставить порядок сомножителей, то результат изме
нит знак. То есть, например «I*J=K», а «J*I» будет равно уже «-K». Эта таблица оказы
вается единственной, исключительной во многих отношениях, и была доказа
на потом теорема, что кроме такой алгебры есть еще только одна подобная в
осьмимерная алгебра, алгебра октав, но и она в некоторых отношениях уже н
е столь красива, как алгебра Гамильтона.
Некоммутативность, то есть зависимость произведения от порядка сомнож
ителей, действительно, по-видимому, лежит в основе этого мира, потому что
она возникает везде: в квантовой механике, например, она является осново
й всего математического аппарата. Природа некоммутативности до сих пор
не ясна. Но, может быть, она связана как раз с существованием таких исключи
тельных алгебр.
Так вот, оказалось, что эта алгебра Гамильтона даже в большей степени «жи
вет» и описывает и как бы «кодирует» наше трехмерное пространство, чем к
омплексные числа Ц двумерное (пространство). Потому что, если вы будете п
оворачивать плоскость, на которой «живут» комплексные числа, закон умно
жения будет меняться, будет оставаться постоянным только «модуль» комп
лексного числа. А если вы будете вращать трехмерное пространство, то зак
он умножения этой алгебры Ц и она единственная такая Ц будет оставатьс
я инвариантным, он будет один и тот же во всех системах отсчета. Математик
и говорят, что группа симметрий, группа автоморфизмов этой алгебры соотв
етствует группе вращений трехмерного пространства.
И поэтому после открытия Гамильтона начался настоящий кватернионный «
бум», который продолжался долгие годы и даже вспыхивает эпизодически до
сих пор. И действительно, эта алгебра удивительно тесно связана со свойс
твами нашего трехмерного пространства. Известно, что даже движение твер
дых тел, движение спутников и тому подобное рассчитывается очень легко и
изящно в кватернионных переменных. До сих пор ничего лучшего невозможно
предложить, это самый элегантный и самый простой математический аппара
т, который позволяет все это рассчитывать.
Но Гамильтона волновало не это. Он хотел понять, как свойства физическог
о Мира могут быть «скрыты» во внутренних свойствах этой алгебры. И более
того: поскольку оказалось, что триплеты перемножать нельзя так красиво,
как величины, содержащие четвертую единицу, у него сразу появилась мысль
: а не связать ли эту четвертую единицу, действительную единицу, с физичес
ким Временем? Это было задолго до теории относительности, задолго до Г.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70