Теперь. Приращения фрактального броуновского движения стационарны. Ко
рреляционная функция при Н, большем, чем одна вторая, медленно, степенным
образом, как показано на рисунке, убывает. Покажите, пожалуйста, рисунок п
о теме 1 и рисунок 2. А спектральная плотность имеет при нулевой частоте ин
тегрируемую особенность, и для достаточно широкого диапазона частот то
же степенным образом убывает в зависимости от значения показателя Харс
та Н.
А.Г. Давайте теперь попробуем перевести на русский язык. Выясн
илось, что классическое броуновское движение в том виде, в каком оно опис
ано….
И.К. Это только частный случай данного процесса.
А.Г. И была выведена некая закономерность, которая носит ступе
нчатый характер, и это описывается уже фрактальным броуновским движени
ем. Верно?
И.К. Да, фрактальным. Но функция не совсем ступенчатая, а имеюща
я степенной характер.
А.Г. Степенной характер.
И.К. Степенной характер корреляционной функции. Именно степе
нной, такое медленное затухание. Благодаря такому медленному затуханию
спектральная плотность, как функция частоты, при нулевой частоте обраща
ется в бесконечность, то есть имеет интегрируемую особенность. А дальше
для некоторого диапазона частот в окрестности нуля убывает степенным о
бразом. А за пределами нуля она уже ведёт себя, соответственно, по-другому
.
Теперь я расскажу о траекториях приращений фрактального броуновского
движения и траекториях самого фрактального броуновского движения. Тра
ектории фрактального броуновского движения ввиду слабого убывания кор
реляционной функции могут иметь большие выбросы. А траектория самого фр
актального броуновского движения содержит длинные серии положительны
х и отрицательных отклонений от математического ожидания процесса, что
характерно для многих геофизических временных рядов.
Кроме того, фрактальное броуновское движение обладает свойством стати
стического самоподобия. Это аналогично фракталам, простым фракталам, то
есть, если мы смотрим через лупу, орнамент повторяется. Здесь же, происход
ит то же самое, только с точки зрения распределения вероятности.
Харст в 1951-м году и в последующие годы занимался вычислением оценки приду
манным им же самим методом. И он обработал 690 временных рядов, описывающих
75 различных явлений природы. И для приращения уровня различных водоёмов,
например, озера Гурон в Канаде и других озёр, для приращения уровня, для ст
оков и уровней различных рек, для изменения ширины годичных колец деревь
ев, для температурных рядов, для осадков, он всюду получил показатель Хар
ста…
А.Г. Больше 0,5.
И.К. Больше 0,5. Мы тоже обрабатывали, конечно, меньше, чем 690, но тоже
довольно много рядов обрабатывали. Мы обрабатывали приращение колебан
ия уровня, вычисляли оценку показателя Харста современными статистиче
скими методами, другими совершенно.
А.Г. Для каких объектов?
И.К. Для объектов: колебание уровня Каспийского и Мёртвого мор
ей, озёр Балхаш, Чаны, Чад, Большое Солёное озеро, для стоков рек Волги, Днеп
ра, Немана, Дуная и многих других. То же для ширины колец различных деревье
в и для температурных рядов, это Ц глобальная температура Северного пол
ушария, среднегодовые значения температур в Москве и в Петербурге. И тож
е всюду получили значение показателя Харста больше 0,5. Кроме того, Харст о
брабатывал исторический ряд наблюдения за уровнями Нила. То есть с 622-го г
ода по 1469-й год и современный ему ряд Ц и всюду получалось Н больше 0,5. В резу
льтате, эффект Харста получил такую математическую интерпретацию, что о
н характеризует случайный процесс с медленным затуханием корреляционн
ой функции.
А.Г. И как следствие…
И.К. И как следствие является, что спектральная плотность имее
т интегрируемую особенность при нулевой частоте и отсутствует линейно
сть у модели, описанной фрактальным броуновским движением.
В.Н. Первый вопрос, который возникает: откуда может взяться так
ая медленная релаксация динамической системы? Потому что, если описыват
ь эту модель с помощью линейной математики, то мы такого эффекта не получ
им. Мы получим экспоненциальное затухание корреляции. Вопрос: как придум
ать модель, простейшую хотя бы модель, чтобы в качестве спектральной фун
кции или корреляционной функции мы получили требуемый результат? Ясно, ч
то в чистом виде фрактальное броуновское движение не может быть использ
овано, потому что оно имеет недифференцируемые траектории. А в физическо
й системе, описываемой законами сохранения, везде стоят производные.
Поэтому можно было только описать свойства, которые имеет фрактальное б
роуновское движение, это степенное затухание корреляции, неограниченн
ый спектр при нулевой частоте и некоторая зависимость от частоты. Мы рас
суждали таким образом. Многие гидрологические явления, например, дождев
ой паводок на реке, формируются следующим образом. Выпадают осадки, подн
имается уровень воды, потом он спадает, потом выпадают ещё осадки, потом у
ровень спадает.
То есть этот процесс мы можем приблизить к импульсным случайным процесс
ам, у которых время наступления максимума неизвестно и сама амплитуда не
известна. Но для того чтобы построить такой процесс, мы должны выдвинуть
постулаты по этой модели, описывающие, какой она должна быть. Модель долж
на быть такой. Описываться законом сохранения, то есть импульса баланса
тепла и вещества, допускать ясную математическую интерпретацию и показ
атель Харста (при всём уважении к этому показателю, это всё же не гравитац
ионная постоянная и не скорость света) должен зависеть от физических сво
йств этой системы.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70