Мы построили такой процесс, как для дождевых паводков,
так и для динамики влажности почвы. И получили результаты такого плана. П
ри стохастической аппроксимации выпадения дождей мы предположили, что
здесь нет эффекта Харста, и хотели его получить путём нелинейного преобр
азования выпавших осадков на водосборе. И получили процесс, который хара
ктеризует динамику влажности почвы Ц как модельный процесс. Чтобы на эт
ом процессе увидеть все характерные черты этого явления.
И.К. Мы рассмотрели нелинейную стохастическую модель инфильт
рации воды в почве, демонстрирующую эффект Харста. Была принята простая
стохастическая модель дождей. За большой промежуток времени число выпа
дающих дождей является случайной величиной, распределённой по закону П
уассона с известным параметром, равным среднему числу осадков за сутки.
Затем предположили, что продолжительность времени между дождями сущес
твенно больше продолжительности самого дождя. Тогда слой осадков можно
представить в виде импульсного процесса.
На основании принятой модели мы определили амплитуды импульсного проц
есса из дискретного уравнения для амплитуд, которые являются случайным
и величинами, и функции формы спада, которые определили из нелинейного д
ифференциального уравнения для функции форм спада. Пожалуйста, рисунок
4 по теме 1. Мы получили, что функция формы спада является степенной, медлен
но затухающей функцией времени и детерминированной функцией. А импульс
ы являются случайными величинами, и плотность их показана на рисунке 4-Б.
Причём эта плотность хорошо аппроксимируется степенным распределение
м вероятности.
Так как функция формы спада есть медленно затухающая степенная функция
времени, то отсюда немедленно следует, что корреляционная функция тоже м
едленно затухает на бесконечности. А это означает, что спектральная плот
ность такого процесса хорошо аппроксимируется (в достаточно близкой ок
рестности нуля, для широкого диапазона частот) затухающей степенной фун
кцией частоты. Вот как показано на рисунке 4-В. А сама реализация вот таког
о процесса показана на рисунке 4-А.
Это всё характеризует приращение фрактального броуновского движения.

А.Г. Простите, на рисунке 4-А по оси абсцисс Ц что? Я просто не виж
у.
И.К. На рисунке 4-А по оси абсцисс Ц это время. А по оси ординат Ц
амплитуды импульсного процесса. Это куски, сшитые беспорядочным образо
м, со случайными амплитудами и детерминированными функциями спада. Оказ
алось, что для такого импульсного процесса можно вычислить теоретическ
и. И показатель Харста зависит в данном случае от водно-физических свойс
тв почвы и испарения. Таким образом, одной из возможных причин эффекта Ха
рста является медленное возвращение нелинейной динамической системы к
своему состоянию равновесия.
В.Н. Медленность здесь очень важна, потому что, например, подъё
м уровня на Ниле составляет примерно 4 месяца, а спад Ц целых 8 месяцев, что
говорит о медленной реакции этой системы. И здесь можно добавить следующ
ее, рисунок, о котором вы спросили, это такая причудливая смесь хаотическ
их и детерминированных сигналов. То есть, когда мы находимся на спаде, мы н
аходимся в детерминированной области. А когда происходят выбросы этого
процесса, то есть момент выпадения осадков, тут возникают случайности. А
если говорить о других задачах (не только же природными задачами занимал
ись специалисты в области нелинейных динамических систем), то такие зада
чи, у которых есть подобные регулярные ставки, и характеризуются медленн
ым затуханием корреляционной функции.
Здесь так можно подвести итог этой первой темы нашего обсуждения. Бассей
н Нила огромный Ц 2,8 миллиона квадратных километров. Он представляет соб
ой нестационарную, неравновесную, нелинейную природную систему. Потоки
влаги и тепла с Индийского океана постоянно выводят эту систему из равно
весия. За счёт процессов диссипации и второго закона термодинамики, зако
на возрастания энтропии, система всё время стремится к своему состоянию
равновесия. Но эта релаксация происходит довольно медленно. Вот эту особ
енность, на наш взгляд, функционирования бассейна Нила и подметил британ
ский климатолог Харст. Но хочу подчеркнуть, что это не единственный медл
енный процесс, который может определить этот эффект.
Таких процессов может быть много. В частности, мы рассматривали медленны
й процесс Ц это инфильтрация, движение воды в почвы или по поверхности б
ассейна. Если не очень толстый слой воды, то всё это медленные процессы.
Но есть такие важные процессы как испарения. Они очень медленные. Если, на
пример, на Каспийском море в год испаряется один метр слоя воды, то, наприм
ер, в наших климатических условиях Ц полметра в год. Так вот эти процессы
исключительно важны для возникновения эффекта Харста, который был нами
обнаружен и в колебаниях уровня Каспийского моря.
Почему Каспийское море? Почему важен механизм колебания этого моря? Пото
му что на основе многих лет изучения оно демонстрировало уникальный хар
актер своего поведения. Например, Марио Сануто ещё в XII веке писал: «Море по
днимается каждый год на ладонь и многие хорошие города уничтожены». Изме
нение физико-географических условий вследствие подъёма уровня Каспий
ского моря привело к гибели Хазарского каганата и исчезновению хазар, та
к как экономика страны не выдержала потери двух третей его территории. Г
умилёв так драматически описывает гибель хазар:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70