Обратимся к переводу постулатов, сделанному М.Я. Выгодским со списка,
который принят И. Гейбергом. Этот список, как говорит Выгодский,
"соответствует большинству лучших рукописей и, что не менее важно,
совпадает со списком, приводимым в комментариях Прокла. Поэтому можно
думать, что нижеприводимые постулаты... содержались в оригинале "Начал".
Вот их список.
Требования
1. Требуется, чтобы можно было через всякие две точки провести прямую.
2. И ограниченную прямую непрерывно продолжать по прямой.
3. И из всякого центра всяким расстоянием описать круг.
4. И что все прямые углы равны.
5. И если прямая линия, падающая на две прямые, делает меньшими двух прямых
углы по одну сторону, чтобы эти две прямые, будучи продолжены, совпали с
той стороны, с которой углы меньше двух прямых".
Анализ евклидовых "Начал" неоплатоником Проклом
Неоплатоник Прокл (V в.) в своем комментарии к "Началам" Евклида говорит,
что 4-й и 5-й постулаты - это, в сущности, не постулаты. "...юоложение, что
все прямые углы равны, не есть требование, точно так же как и пятое
положение, которое утверждает: если прямая пересекается с двумя другими
прямыми и образует внутренние углы по одну сторону меньшие, чем два прямых,
то эти две прямые, будучи продолжены, совпадут с той стороны, где лежат
углы, меньше двух прямых". Как аргументирует Прокл свое утверждение? "Это
положение, - говорит он, имея в виду 5-й постулат, - не применяется в
качестве конструкции и не ставит требование что-то найти, а оно объясняет
некоторое свойство, которое является общим для прямых углов и прямых,
исходящих из углов, меньших двух прямых. Согласно второму определению,
положение, что две прямые не объемлют поверхности (см. аксиому 9: "Две
прямые не содержат пространства"), - положение, которое также теперь
некоторые причисляют к аксиомам, не есть аксиома. Ибо оно принадлежит к
геометрической материи, как и положение о равенстве двух прямых углов".
Это рассуждение Прокла в сущности уже содержит различение аксиом и
постулатов - различение, которое нас как раз и интересует. Из слов Прокла
можно понять, что к постулатам он причисляет лишь те положения, которые
ставят требования что-то найти или сконструировать; по этой причине
отнесенные к числу постулатов положения о равенстве всех прямых углов (4) и
о пересечении двух непараллельных прямых при их продолжении (5) он
постулатами не считает. В то же времъ Прокл не согласен считать аксиомой
положение 9, относимое, как он говорит, "некоторыми" к аксиомам: ведь оно
трактует о поверхности (пространстве) и тем самым "принадлежит к
геометрической материи". Заметим характерное выражение: геометрическая
материя.
Аксиомы, согласно Проклу, так же отличаются от постулатов, как теоремы - от
проблем: "Выведение из принципов опять-таки распадается на задачи
(проблемы) и положения (теоремы). Первые обнимают собою построение фигур,
разделение, вычитание и прибавление и вообще все, что с ними можно делать
(vornehmen); последние указывают существенные свойства... Если кто-то
формулирует задачу так: вписать в круг равносторонний треугольник, то он
говорит о проблеме; ибо возможно вписать в круг также и неравносторонний
треугольник. И опять-таки: на данном, точно определенном, отрезке построить
равносторонний треугольник - это тоже проблема, ибо можно построить также и
неравносторонний. Но если кто-то формулирует положение, что в
равнобедренных треугольниках углы при основании равны, то можно сказать,
что он формулирует теорему, ибо невозможно, чтобы в каком-нибудь
равнобедренном треугольнике углы при основании не были равны".
Таким образом, теорема - это теоретическое утверждение, в котором
определенному объекту приписывается свойство, которое ему присуще с
необходимостью.
Проблема же - это скорее практическая задача, которая выполняется
определенным способом, и нужно найти эти способы, изобрести их и выполнить
требуемое построение. Характерной особенностью задачи (проблемы) является
то, что требуемое построение - отнюдь не единственно возможное: при
заданных условиях можно осуществить и другое построение.
Теорема представляет собой утверждение, противоположное которому будет
неистинным; к проблеме же определение "истинно - неистинно" не может быть
применено.
Указав на различие между теоремами и проблемами, Прокл переходит к
рассмотрению аксиом и постулатов. "Общим для аксиом и постулатов, - пишет
он, - является то, что они не нуждаются ни в каком обосновании и ни в каком
геометрическом доказательстве, но что они принимаются как известные и
являются началами для последующего. Но аксиомы отличаются от постулатов так
же, как теоремы от проблем. А именно, подобно тому как в случае теорем мы
ставили задачу усмотреть и понять следствие из предпосылок, а в случае
проблем получаем требование что-то найти и сделать, точно так же и в случае
аксиом принимается то, что сразу видно и не представляет никаких
затруднений для нашего необученного (ungeschulten) мышления. Но в случае
постулатов мы пытаемся найти то, что легко получить и установить и
относительно чего рассудок не затрудняется, не нуждается ни в каком сложном
методе и ни в какой конструкции".
Если мы оставим в стороне весьма сложный и на протяжении многих веков
дискутировавшийся среди математиков и философов вопрос о двух последних
постулатах (4 и 5-й) и некоторых аксиомах (7 и 9-ъ), то с различением,
которое здесь приводит Прокл, трудно не согласиться.
Из дальнейшего сообщения Прокла мы узнаем, что еще до Евклида греческие
математики и философы обсуждали значение недоказуемых предпосылок в
геометрии.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128