Но криволинейные и прямолинейные углы, хотя они и принадлежат к одному роду
величин (углам), не находятся между собой ни в каком отношении, ибо для них
не имеет силы аксиома Евдокса: роговидный угол всегда будет меньше любого
прямолинейного угла. Иначе говоря, "роговидные углы по отношению к любому
прямолинейному являются актуальными бесконечно малыми, или неархимедовыми
величинами"; именно эти величины исключаются аксиомой Евдокса.
Как видим, Евдокс вводит аксиому непрерывности для решения затруднений,
вызванных парадоксом несоизмеримости; аналогичную роль принцип
непрерывности играет и в физике Аристотеля; с его помощью Аристотель хочет
преодолеть парадоксы Зенона, препятствующие всякой попытке построить теорию
движения - физику. Вот как формулирует Аристотель евдоксову аксиому
непрерывности, недвусмысленно показывая, что альтернативой ее будет
парадокс Зенона "Дихотомия": "Если, взявши от конечной величины
определенную часть, снова взять ее в той же пропорции, т.е. не ту же самую
величину, которая взята от целого, то конечную величину нельзя пройти до
конца, если же настолько увеличивать пропорцию, чтобы брать всегда одну и
ту же величину, то пройти можно, так как конечную величину всегда можно
исчерпать любой определенной величиной".
Рассмотрим теперь, что имеет в виду Вилейтнер, говоря о втором моменте,
содержащемся в аксиоме Евдокса: "Евклид хочет лишить права находиться в
отношении "бесконечно малые" и "бесконечно большие" образы". Относительно
"бесконечно малых" мы уже приводили пример роговидных углов, которые не
могут находиться в отношении с прямолинейными. Но аксиома Евдокса, что
нетрудно видеть, не будет иметь силы также и по отношению к бесконечно
большой величине, ибо тогда неравенство nb > a не может быть справедливым;
число n предполагается ведь сколь угодно большим, но конечным числом.
Очевидно, что аксиома Евдокса оказывается непосредственно связанной с
проблемой бесконечного; и решение этой проблемы именно в духе Евдокса мы
находим опять-таки у Аристотеля.
Таким образом, аристотелевская физика, построенная на основе принципа
непрерывности, внутренне связана с математическим мышлением, как оно
воплотилось в "Началах" Евклида; этим и объясняется отчасти то
обстоятельство, что принцип непрерывности Аристотеля не был отменен и в
механике нового времени; и только в связи с открытием неевклидовых
геометрий возникла возможность пересмотра этого принципа. Правда, уже после
открытия исчисления бесконечно малых понадобилось кое-что откорректировать
как в принципе непрерывности Аристотеля, так и в аксиоме непрерывности
Евдокса; однако эти коррективы самой непрерывности не отменили.
При рассмотрении аристотелевского принципа непрерывности мы уже говорили о
проблеме бесконечности, однако эта философская проблема нуждается в
специальном анализе.
Понятие бесконечного
Приступая к анализу понятия бесконечности, Аристотель предупреждает, что
здесь приходится ходить по очень зыбкой почве, постоянно рискуя
натолкнуться на парадоксы и противоречия: ибо "много невозможного следует и
за отрицанием его (бесконечного. - П.Г.) существования и за признанием".
Но, несмотря на эти затруднения, возникающие при рассмотрении бесконечного,
физика, так же как и математика, по мысли Аристотеля, не может обойтись без
такого рассмотрения. "А что бесконечное существует, - пишет Аристотель, -
уверенность в этом скорее всего возникает у исследователей из пяти
оснований: из времени (ибо оно бесконечно), из разделения величин (ведь и
математики пользуются бесконечным); далее, что только таким образом не
иссякнут возникновение и уничтожение, если будет бесконечное, откуда
берется возникающее. Далее, из того, что конечное всегда граничит с
чем-нибудь, так что необходимо, чтобы не было никакого предела, раз
необходимо, чтобы одно всегда граничило с другим. Но больше всего и главнее
всего - что доставляет для всех затруднение - на том основании, что
мышление не останавливается: и число кажется бесконечным, и математические
величины, и то что лежит за небом: а если лежащее за небом бесконечно, то
кажется бесконечным тело и существует множество миров..." (курсив мой. -
П.Г.) Однако в вопросе о бесконечном, говорит Аристотель, доверять мышлению
нельзя, поэтому ко всем перечисленным основаниям, побуждающим принять
бесконечное, надо подойти критически, внимательно рассмотрев возможные
следствия из каждого допущения относительно бесконечного.
Как обычно, Аристотель начинает исследование с критики платоновского и
пифагорейского понятий бесконечного. И Платон, и пифагорейцы рассматривают
бесконечное как сущность, а не свойство, не предикат чего-нибудь другого. В
отличие от них натурфилософы считают бесконечное предикатом природных
элементов, в зависимости от того, какой элемент каждый из них принимает за
первоначало - воду, воздух или огонь. Аристотель не соглашается признать
бесконечное ни сущностью, ни предикатом (сущности). Характерно его
возражение против платоновско-пифагорейской трактовки бесконечного как
сущности: если принять, что бесконечное является сущностью, то оно должно
мыслиться как неделимое. "...Если бесконечное - сущность и не относится к
какому-нибудь подлежащему, - говорит Аристотель, - то "быть бесконечным" и
"бесконечность" - одно и то же, следовательно, оно или неделимо, или делимо
на бесконечности, а быть одному и тому же предмету многими бесконечными
невозможно.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128