Из этого с необходимостью следует, что неделимая точка
не может двигаться; ведь двигаться неделимое могло бы только при условии,
если бы можно было двигаться в неделимые мгновения - из одного "теперь" в
другое "теперь"; в "теперь" невозможно ни движение, ни покой. Значит,
двигаться и изменяться может только то, что само имеет величину (а значит,
делимо); только такие объекты и подлежат изучению физики - науки о движении
и изменении. "Не имеющее частей двигаться и вообще изменяться не может; в
одном только случае было бы для него возможно движение: это если бы время
состояло из отдельных "теперь", ибо в момент "теперь" его движение всегда
было бы закончено и изменение произошло, так что, никогда не двигаясь, оно
всегда находилось бы в состоянии законченного движения". А это невозможно.
Неделимая точка двигаться не может, иначе пришлось бы допустить, что линия
состоит из точек, заключает Аристотель.
Таковы выводы, вытекающие из аристотелевского понимания континуума. Нам
представляется, что аристотелевское учение о непрерывности органически
связано с его методологическим принципом, рассмотренным нами в предыдущих
разделах, а именно с принципом опосредования: подобно тому, как в логике и
метафизике Аристотель ищет средний термин, то, что "лежит между", и
связывает два крайних термина, подобно этому и в основу всей науки о
природе он кладет учение о континууме, согласно которому между любыми двумя
точками (на линии, во времени и т.д.) всегда можно взять среднюю точку. И
как бы "близко" ни были расположены эти две точки, они никогда не могут
мыслиться без посредника между ними: посредничество - бесконечно, ибо
бесконечна делимость.
Аристотелевское учение о непрерывности имеет также непосредственный выход в
математику.
Принцип непрерывности Аристотеля и метод исчерпывания Евдокса
Принцип непрерывности сыграл важную роль в античной математике. Он был
введен в математику старшим современником Аристотеля Евдоксом в виде так
называемой аксиомы непрерывности, которая стала известна как "аксиома
Архимеда", поскольку Архимед указывает ее в числе своих постулатов. Вот как
формулирует ее Архимед: "Требования <постулаты>. Я принимаю следующее...
Что из неравных линий и неравных площадей и неравных тел большее
превосходит меньшее на такую величину, которая, будучи прибавляема к самой
себе, может стать больше, чем любая заданная величина из тех, которые
сравнимы между собой". У Архимеда речь идет о величинах одного измерения,
которые могут быть сравнимы, т.е. могут находиться в отношениях друг к
другу. Эту же аксиому мы находим среди определений V книги "Начал" Евклида,
в которой он излагает теорию отношений Евдокса.
Четвертое определение V книги "Начал" гласит: "Говорят, что величины имеют
отношение между собой, если они, взятые кратко, могут превзойти друг
друга". Как подчеркивает В. Вилейтнер, в этом определении, данном Евклидом,
содержится нечто большее, чем в приведенном выше постулате Архимеда:
"Евклид подобно Архимеду также имеет в виду однородные величины, но вместе
с тем он высказывает нечто большее. Во-первых, Евклид стремится при помощи
своего определения дать возможность находиться в "отношении" также и таким
величинам, которые не имеют общей меры (несоизмеримы)... Во-вторых, Евклид
хочет лишить права находиться в отношении "бесконечно малые" и "бесконечно
большие" образы, как, например, введенные уже древними философами
(Демокрит) последние частицы (атомы, неделимые) отрезка или же всю
бесконечную прямую". Первый момент, о котором говорит Вилейтнер,
подразумевается также и в аксиоме Архимеда; видимо, то большее, что
заключено в евклидовом (т.е., собственно, евдоксовом) определении, сводится
ко второму моменту.
Рассмотрим последовательно каждый из этих моментов. Что касается первого,
то действительно одна из главных задач, возникших перед Евдоксом после
открытия несоизмеримости, состояла в том, чтобы найти способ установления
отношения также и для несоизмеримых величин. До открытия несоизмеримости
математики рассматривали отношения между числами (соизмеримыми величинами).
Для соизмеримых величин, а и b, отношение которых было равно рациональной
дроби  EMBED Equation.2 
, равенство отношений выражалось пропорцией
a/b = m/n,
т.е. соотношением: na = mb. Иначе говоря, пока отношения выражались целыми
числами, для определения отношения двух величин нужно было меньшую взять
столько раз, сколько необходимо для того, чтобы она сравнялась с большей.
Но для несоизмеримых величин этот способ уже не годится: ибо отношения
между ними невозможно выразить в виде пропорции, члены которой будут
рациональными числами. Чтобы все же иметь возможность устанавливать
отношения несоизмеримых величин, Евдокс предложил такой выход: если для
двух величин а и b, где a > b, можно подобрать такое число n, чтобы меньшая
величина, взятая n раз, превзошла большую, т.е. чтобы было справедливо
неравенство nb > a, то величины а и b находятся между собой в некотором
отношении. В противном же случае можно утверждать, что они не находятся ни
в каком отношении. Аксиома Евдокса делала возможным оперирование также и с
несоизмеримыми величинами и тем самым позволяла если не совсем преодолеть,
то по крайней мере в работе математика нейтрализовать затруднения,
порожденные открытием несоизмеримости.
Греческим математикам были известны так называемые роговидные углы, т.е.
углы, образованные окружностью и касательной к ней (или же двумя кривыми).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128