ТОП авторов и книг ИСКАТЬ КНИГУ В БИБЛИОТЕКЕ
Осуществить подлинный анализ понятия - значит, по
Лейбницу, свести его к некоторому тождественному утверждению типа "А есть
А". "Природа истины вообще состоит в том, - пишет Лейбниц, - что она есть
нечто тождественное". Только тождественные утверждения "истинны через самих
себя", а потому только о них можно сказать, что они совершенно несомненны и
необходимы. "...Тождественные предложения, очевидно, недоказуемы по своей
природе и потому могут поистине называться аксиомами".
Лейбниц убежден, что все истины виртуально тождественны, только эту их
тождественность трудно раскрыть. Осуществить подлинный анализ, восходящий к
самым первым, тождественным положениям, не удалось, считает он, даже
античным математикам, хотя некоторые из них и стремились к этому. "...Не
всегда легко прийти к этому окончательному анализу, и как ни добивались
этого геометры, по крайней мере древние, они еще не достигли этого". Но для
создания строгой и достоверной науки необходимо, по мнению Лейбница,
произвести анализ оснований научного знания, в том числе и математических
аксиом.
В своем рационализме, как видим, Лейбниц хотел бы пойти дальше, чем это
смогла сделать античная философия и математика. Не без оснований один из
исследователей учения Лейбница - Луи Кутюра - считает его метафизику
интеллектуалистическим панлогизмом. В этом отношении Лейбниц - сын своего
века, как и Декарт, Спиноза, Мальбранш. Однако Кутюра неправ, когда
пытается отделить логику и математику Лейбница от его метафизики и
объяснить последнюю как нечто полностью производное от логики. Тут скорее
можно согласиться с точкой зрения В. Кабица, считавшего, что "логика
Лейбница базируется на метафизических предпосылках и проникнута
метафизикой".
3. Анализ математических аксиом
"Я давно уже заявлял, - говорит Лейбниц, - что было бы важно доказать все
наши вторичные аксиомы, которыми обычно пользуются, сведя их к первичным,
или непосредственным и недоказуемым аксиомам, представляющим то, что я...
назвал тождественными предложениями". Доказательством, таким образом,
Лейбниц считает сведение обычной аксиомы к тождественному положению,
которое одно только есть в строгом смысле самоочевидное высказывание. "Я
убежден, что для усовершенствования наук даже необходимо доказывать
некоторые предложения, называемые аксиомами..." Главный недостаток
математических аксиом, в частности евклидовых, Лейбниц видит в том, что они
опираются не только на разум, но и на воображение, т.е. являются не чисто
аналитическими предложениями, а значит, не могут претендовать на подлинную
достоверность. "Евклид, - пишет Лейбниц, - отнес к числу аксиом положение,
что две прямые могут пересечься только один раз. Воображение, опирающееся
на чувственный опыт, не позволяет нам представить более одного пересечения
двух прямых; но не на этом следует строить науку, и если кто-нибудь думает,
что воображение дает связь отчетливых идей, то это показывает, что он
недостаточно осведомлен относительно источника истин, и множество
предложений, доказываемых посредством других, предшествующих им
предложений, должны им считаться непосредственными".
Лейбниц здесь, по существу, повторяет аргумент Платона, характеризовавшего
геометрию как науку, опирающуюся не только на разум, но и на воображение.
Платон потому и поставил геометрию после арифметики, что считал геометрию
менее строгой в силу ее обращения к пространственным образам, а не к одним
только понятиям ума. Лейбниц, хорошо знакомый с сочинениями Платона и
Прокла, разделяет их точку зрения, что пространственные образы - это
смутные, неадекватные идеи, и тот, кто с их помощью стремится дать
определение исходных понятий геометрии, не может этого сделать с надлежащей
строгостью. "Вот почему Евклид за отсутствием отчетливо выраженной идеи,
т.е. определения прямой линии (так как его провизорное определение прямой
неясно и он им не пользуется в своих доказательствах), был вынужден
обратиться к двум аксиомам, которые заменяли у него определение и которыми
он пользовался в своих доказательствах. Первая аксиома гласит, что две
прямые не имеют общей части, а вторая - что они не заключают пространства.
Архимед дал своего рода определение прямой линии, сказав, что это
кратчайшая линия между двумя точками. Но, пользуясь в своих доказательствах
такими элементами, как евклидовы, которые основаны на только что упомянутых
мной двух аксиомах, он молча предполагает, что свойства, указанные в этих
аксиомах, принадлежат определенной им линии".
Но если основания античной геометрии были столь непрочны, то как же следует
отнестись к построенному на них зданию? Что это - строгая научная система,
какой считали геометрию и в античности, и в средние века, и уж тем более в
XVII столетии, или же это просто практическое искусство, способ решения
технико-практических задач, каким с древности считали логистику? В самом
деле, если очевидность евклидовых аксиом носит не чисто логический
характер, а опирается и на воображение (что несомненно), то "Начала"
невозможно считать строго научной системой.
Однако Лейбниц столь радикального вывода не делает. Он заявляет, что все же
"лучше было ограничиться небольшим количеством истин этого рода, казавшихся
ему (Евклиду. - П.Г.) наипростейшими, и вывести из них другие истины... чем
оставить множество их недоказанными и, что еще хуже, предоставить людям
свободу допускать все, что угодно, в зависимости от настроения". Ибо даже
при помощи таких, далеко не первичных аксиом были сделаны великие открытия,
которых не было бы, "если бы древние не захотели двинуться вперед до того,
как они не докажут аксиом, которыми они вынуждены были пользоваться".
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185
Лейбницу, свести его к некоторому тождественному утверждению типа "А есть
А". "Природа истины вообще состоит в том, - пишет Лейбниц, - что она есть
нечто тождественное". Только тождественные утверждения "истинны через самих
себя", а потому только о них можно сказать, что они совершенно несомненны и
необходимы. "...Тождественные предложения, очевидно, недоказуемы по своей
природе и потому могут поистине называться аксиомами".
Лейбниц убежден, что все истины виртуально тождественны, только эту их
тождественность трудно раскрыть. Осуществить подлинный анализ, восходящий к
самым первым, тождественным положениям, не удалось, считает он, даже
античным математикам, хотя некоторые из них и стремились к этому. "...Не
всегда легко прийти к этому окончательному анализу, и как ни добивались
этого геометры, по крайней мере древние, они еще не достигли этого". Но для
создания строгой и достоверной науки необходимо, по мнению Лейбница,
произвести анализ оснований научного знания, в том числе и математических
аксиом.
В своем рационализме, как видим, Лейбниц хотел бы пойти дальше, чем это
смогла сделать античная философия и математика. Не без оснований один из
исследователей учения Лейбница - Луи Кутюра - считает его метафизику
интеллектуалистическим панлогизмом. В этом отношении Лейбниц - сын своего
века, как и Декарт, Спиноза, Мальбранш. Однако Кутюра неправ, когда
пытается отделить логику и математику Лейбница от его метафизики и
объяснить последнюю как нечто полностью производное от логики. Тут скорее
можно согласиться с точкой зрения В. Кабица, считавшего, что "логика
Лейбница базируется на метафизических предпосылках и проникнута
метафизикой".
3. Анализ математических аксиом
"Я давно уже заявлял, - говорит Лейбниц, - что было бы важно доказать все
наши вторичные аксиомы, которыми обычно пользуются, сведя их к первичным,
или непосредственным и недоказуемым аксиомам, представляющим то, что я...
назвал тождественными предложениями". Доказательством, таким образом,
Лейбниц считает сведение обычной аксиомы к тождественному положению,
которое одно только есть в строгом смысле самоочевидное высказывание. "Я
убежден, что для усовершенствования наук даже необходимо доказывать
некоторые предложения, называемые аксиомами..." Главный недостаток
математических аксиом, в частности евклидовых, Лейбниц видит в том, что они
опираются не только на разум, но и на воображение, т.е. являются не чисто
аналитическими предложениями, а значит, не могут претендовать на подлинную
достоверность. "Евклид, - пишет Лейбниц, - отнес к числу аксиом положение,
что две прямые могут пересечься только один раз. Воображение, опирающееся
на чувственный опыт, не позволяет нам представить более одного пересечения
двух прямых; но не на этом следует строить науку, и если кто-нибудь думает,
что воображение дает связь отчетливых идей, то это показывает, что он
недостаточно осведомлен относительно источника истин, и множество
предложений, доказываемых посредством других, предшествующих им
предложений, должны им считаться непосредственными".
Лейбниц здесь, по существу, повторяет аргумент Платона, характеризовавшего
геометрию как науку, опирающуюся не только на разум, но и на воображение.
Платон потому и поставил геометрию после арифметики, что считал геометрию
менее строгой в силу ее обращения к пространственным образам, а не к одним
только понятиям ума. Лейбниц, хорошо знакомый с сочинениями Платона и
Прокла, разделяет их точку зрения, что пространственные образы - это
смутные, неадекватные идеи, и тот, кто с их помощью стремится дать
определение исходных понятий геометрии, не может этого сделать с надлежащей
строгостью. "Вот почему Евклид за отсутствием отчетливо выраженной идеи,
т.е. определения прямой линии (так как его провизорное определение прямой
неясно и он им не пользуется в своих доказательствах), был вынужден
обратиться к двум аксиомам, которые заменяли у него определение и которыми
он пользовался в своих доказательствах. Первая аксиома гласит, что две
прямые не имеют общей части, а вторая - что они не заключают пространства.
Архимед дал своего рода определение прямой линии, сказав, что это
кратчайшая линия между двумя точками. Но, пользуясь в своих доказательствах
такими элементами, как евклидовы, которые основаны на только что упомянутых
мной двух аксиомах, он молча предполагает, что свойства, указанные в этих
аксиомах, принадлежат определенной им линии".
Но если основания античной геометрии были столь непрочны, то как же следует
отнестись к построенному на них зданию? Что это - строгая научная система,
какой считали геометрию и в античности, и в средние века, и уж тем более в
XVII столетии, или же это просто практическое искусство, способ решения
технико-практических задач, каким с древности считали логистику? В самом
деле, если очевидность евклидовых аксиом носит не чисто логический
характер, а опирается и на воображение (что несомненно), то "Начала"
невозможно считать строго научной системой.
Однако Лейбниц столь радикального вывода не делает. Он заявляет, что все же
"лучше было ограничиться небольшим количеством истин этого рода, казавшихся
ему (Евклиду. - П.Г.) наипростейшими, и вывести из них другие истины... чем
оставить множество их недоказанными и, что еще хуже, предоставить людям
свободу допускать все, что угодно, в зависимости от настроения". Ибо даже
при помощи таких, далеко не первичных аксиом были сделаны великие открытия,
которых не было бы, "если бы древние не захотели двинуться вперед до того,
как они не докажут аксиом, которыми они вынуждены были пользоваться".
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185