она есть
математический "представитель" того самого единого, которое, в конечном
счете, непостижимо. Единица, или единое, порождает все числа при соединении
с противоположным ему началом - беспредельным. Ни сама единица, ни
беспредельное не суть числа, как поясняли пифагорейцы: первым числом у них
является тройка (ибо двойка - это тоже еще не число, а символ
беспредельного).
У Галилея, как и у Николая Кузанского, единое и беспредельное оказываются
тождественными, и единица, таким образом, есть бесконечное. При этом
Галилей, подобно Кузанцу, мыслит бесконечность как актуальную. Сам пример,
приведенный Галилеем, представляющий собой утверждение о том, что множество
квадратов равномощно множеству всех натуральных чисел, предвосхищает
положения теории множеств Георга Кантора.
Галилей прекрасно понимает, что понятие актуальной бесконечности не может
быть получено на том пути, на котором мы приходим к понятию бесконечности
потенциальной; то действие, которое мы осуществляем, деля, допустим,
отрезок пополам, затем на четыре части, на восемь частей и т.д. до
бесконечности, никогда не приведет нас к получению актуально бесконечного
множества, ибо "такой процесс постепенного деления конечных величин
необходимо было бы продолжать вечно; достигнуть же таким путем приближения
к неделимым в конечный период времени совершенно невозможно".
Конечная величина, подчеркивает Галилей, не может никогда превратиться в
актуально бесконечную путем постепенного ее увеличения: как замечает
Галилей, идя этим путем, мы удаляемся от актуальной бесконечности. Между
конечным и актуально бесконечным - непереходимый рубеж; как выражается
Галилей, можно обнаружить своеобразное "противодействие природы, которое
встречает конечная величина при переходе в бесконечность". Галилей приводит
и пример такого "противодействия природы": если мы будем увеличивать радиус
круга, то длина окружности будет также увеличиваться, однако это будет
происходить только до тех пор, пока радиус будет оставаться как угодно
большой, но конечной величиной. При переходе к актуально бесконечному
радиусу (когда круг становится "большим из всех возможных") круг исчезает и
на его месте появляется бесконечная прямая. Ясно, продолжает Галилей, что
"не может быть бесконечного круга; отсюда как следствие вытекает, что не
может быть ни бесконечного шара, ни другого бесконечного тела, ни
бесконечной поверхности". Галилеев пример, как видим, заимствован у Николая
Кузанского и должен пояснить то же, что пояснял и Кузанец: принципиальное
различие между потенциальной бесконечностью, которая всегда связана с
конечным (хотя и как угодно большим) числом, телом, временем, пространством
и т.д., и бесконечностью актуальной, которая предполагает переход в иной
род, изменение сущности, а не количества.
Попутно мы можем видеть, почему античная наука, понятия которой были
теснейшим образом связаны со свойствами круга (и в математике, и в физике),
не могла допустить актуальной бесконечности и нашла способы избегать его,
тем самым освобождаясь от парадоксов, неизбежно сопровождающих это понятие.
Коль скоро Галилей вводит понятие актуальной бесконечности, он принимает и
все те следствия, которые с необходимостью вытекают из этого
понятия-парадокса. Так, к понятию актуально бесконечного неприменимы
предикаты "больше", "меньше" или "равно". "...Такие свойства, - говорит
Сальвиати, - как большая или меньшая величина и равенство, неприменимы к
бесконечному, относительно которого нельзя сказать, что одна бесконечность
больше или меньше другой или равна ей". Это почти цитата из Николая
Кузанского, многократно подчеркивавшего, что к бесконечному неприменимы те
определения, которыми пользуется наш рассудок, имея дело с конечными
вещами. При переходе к актуальной бесконечности теряют свою силу все то
допущения и операции, на которых до сих пор стояла математика. Актуально
бесконечные множества, говорит Галилей, содержатся как в отрезке любой
конечной длины, так и в бесконечной линии, - ибо могут ли быть равными
бесконечности? Именно такое допущение делает Сагредо: "На основании
изложенного, - замечает он, - мне кажется, нельзя утверждать не только
того, что одно бесконечное больше другого бесконечного, но даже и того, что
оно больше конечного". Ход мысли здесь понятен: поскольку в любом конечном
отрезке, как бы мал он ни был, лишенных величины точек обязательно будет
бесконечное число, то на этом основании он должен быть так же точно
причислен к бесконечному, как и бесконечная линия. Вот почему Сальвиати
соглашается с Сагредо: "...понятия "больший", "меньший", "равный" не имеют
места не только между бесконечно большими, но и между бесконечно большим и
конечным".
Трудно более определенно сформулировать исходные предпосылки, которые были
бы в противоречии не только с физикой и метафизикой Аристотеля, но и с
математикой Евдокса - Евклида - Архимеда, т.е. в противоречии с
методологическими основаниями античной науки в целом. Чтобы окончательно
разрушить тот барьер, который Аристотель поставил проникновению актуально
бесконечного в науку, чтобы доказать несостоятельность аристотелевского
решения апорий Зенона и дать этим последним право гражданства в научной
мысли, Галилей предпринимает еще одну дерзкую попытку. В ответ на
возражение аристотелика Симпличио, что любую линию можно делить до
бесконечности, но нельзя разделить на актуально бесконечное множество
неделимых точек (ибо линия, по Аристотелю, не состоит из неделимых, как и
всякий континуум, - будь то время или непрерывное движение), Галилей
заявляет, что "разложение линии на бесконечное множество ее точек не только
не невозможно, но сопряжено не с большими трудностями, чем разделение на
конечные части".
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185