При качении большего многоугольника должен двигаться также
и вписанный в него меньший; при этом, как доказывает Галилей, меньший
многоугольник пройдет пространство, почти равное пройденному большим, "если
включить в пространство, пройденное меньшим, также и интервалы под дугами,
не затронутые на самом деле никакой частью периметра меньшего
многоугольника". При качении меньшего многоугольника, как показывает
Галилей, происходят "скачки", как бы "пустые промежутки", число которых
будет равно числу сторон обоих многоугольников. При возрастании числа
сторон многоугольников размеры пустых промежутков уменьшаются
пропорционально увеличению числа сторон. Однако пока многоугольник остается
самим собой, то, как бы ни возрастало число его сторон, они остаются все же
конечной величиной, а потому и число пустых промежутков будет как угодно
большим, но конечным числом.
Но если мы рассмотрим случай предельного перехода, когда многоугольник
превращается в круг, то дело существенно меняется. "...Как в многоугольнике
со ста тысячами сторон путь, пройденный при обороте, измеряется обводом
большего многоугольника, то есть отложением без перерыва всех его сторон, в
то время как путь меньшего многоугольника также равен ста тысячам его
сторон с прибавлением такого же числа, то есть ста тысяч пустых
промежутков, так и в кругах (представляющих собою многоугольники с
бесконечно большим числом сторон) линия, образуемая непрерывным наложением
бесконечно большого числа сторон большого круга, приблизительно равна по
длине линии, образованной наложением бесконечно большого числа сторон
меньшего круга, если включить в нее и промежутки; а так как число сторон не
ограниченно, а бесконечно, то и число промежутков между ними также
бесконечно; бесчисленные точки в одном случае заняты все, в другом случае
часть их занята, а часть пуста".
Здесь Галилей делает одно допущение, на котором уже и держится все
последующее его доказательство, а именно что круг представляет собой
многоугольник с бесконечно большим числом сторон. Такое допущение не
принималось математиками ни в античности, ни в средние века, оно
дозволялось только в логистике для упрощения расчетов, которые всегда
принимались как приблизительные. Допущение предельного перехода
многоугольника с как угодно большим, но конечным числом сторон в фигуру
другого рода - круг - позволяет Галилею ввести в оборот понятие актуальной
бесконечности, вместе с которым в научное построение проникают парадоксы -
и на этих-то парадоксах, которые прежде в математику пытались не впускать,
как раз и работает та новая ветвь математики, которая во времена Галилея
носит название "математики неделимых", а впоследствии получает название
исчисления бесконечно малых. В "Беседах" Галилея мы наглядно можем видеть,
как формируется методологический базис этой новой математики, возникшей
вместе с механикой нового времени как ее математический фундамент.
Весь парадокс теперь сосредоточивается в понятии "пустых точек", которые
представляют собой промежутки, лишенные величины. Введение этих "пустых
точек" служит для Галилея средством преодоления противоположности
непрерывного и дискретного - противоположности, которую считал
принципиальной для науки Аристотель и на которой базируется его физика и
философия в той же мере, в какой и математика Евклида.
Насколько эта противоположность была принципиальна также и для
средневековой науки, свидетельствует, в частности, трактат Брадвардина о
континууме, где показано, к каким парадоксам и противоречиям приводит
попытка составления континуума из неделимых (т.е. из точек).
Галилей показывает, какие новые возможности открываются перед научным
мышлением, если принять понятие актуальной бесконечности. "...Разделяя
линию на некоторые конечные и потому поддающиеся счету части, нельзя
получить путем соединения этих частей линии, превышающей по длине
первоначальную, не вставляя пустых пространств между ее частями; но,
представляя себе линию, разделенную на неконечные части, то есть на
бесконечно многие ее неделимые, мы можем мыслить ее колоссально растянутой
без вставки конечных пустых пространств, а путем вставки бесконечно многих
неделимых пустот".
Таким путем вводит Галилей чрезвычайно важное для науки XVII-XVIII вв.
понятие неделимого, вызвавшее серьезную и очень плодотворную дискуссию
между математиками, философами, физиками на протяжении более чем двухсот
лет. Как видим, это новое понятие вводится с помощью математического
доказательства и базируется на приеме, введенном в философское мышление
Николаем Кузанским, - на приеме предельного перехода, представляющем собой
как бы псевдонаглядную демонстрацию принципа совпадения противоположностей.
Именно псевдонаглядную, потому что не только нашему наглядному
представлению, но даже нашему мышлению не под силу понять совпадение
противоположностей, о котором ведут речь и Кузанец, и Галилей.
Заметим, как называет Галилей это новорожденное понятие-парадокс. Он дает
ему несколько имен, каждое из которых несет на себе след того приема мысли,
с помощью которого это понятие появилось на свет: "пустые точки",
"неделимые пустоты", "неконечные части линии" и, наконец, просто
"неделимые", или "атомы".
Вот тут, на исходе XVI в., впервые действительно появляются те самые
"математические атомы", или "амеры", которые С.Я. Лурье нашел у Галилея и
его ученика Кавальери и попытался - но без достаточных доказательств -
обнаружить также и у Демокрита.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185