"Если тебя спросят, - пишет он, - почему у любого
треугольника две стороны в сумме больше третьей, или почему у квадрата
квадрат диагонали вдвое больше квадрата стороны, или почему квадрат стороны
треугольника, противоположной прямому углу, равен сумме квадратов других
сторон и так далее, ты ответишь: на путях рассудка это необходимо потому,
что иначе получилось бы совпадение противоречивого".
Математика, по убеждению Кузанца, есть продукт деятельности рассудка;
рассудок как раз и выражает свой основной принцип в виде запрета
противоречия, т.е. запрета совмещать противоположности. Этот главный закон
рассудка, сформулированный Аристотелем, согласно Николаю Кузанскому,
составляет фундамент евклидовых "Начал", в которых подытожено развитие
древнегреческой математики на протяжении нескольких веков. "Я как-то
попытался доказать, - пишет Николай, - что соизмеримость диаметра и
окружности недостижима и недопустима из-за необходимости избегать
вышесказанного совпадения (имеется в виду совпадение противоположностей. -
П.Г.), и внезапно понял, чту в геометрии подлежит утверждению и чту
отрицанию; как в понятиях души, так и во всех доказательствах Евклида или
чьих бы то ни было при разнообразии фигур я обнаружил эту единственную
причину всего". К "общим понятиям души" Кузанец относит не только аксиомы,
но также и постулаты, и определения, не различая между собой эти три группы
допущений.
Согласно Кузанцу, аксиомы, так же как и базирующиеся на них доказательства,
являются тем "забором", с помощью которого рассудок заботливо отгородил
свою территорию от тех противоречий, которые могли бы взорвать все
возводимое им здание науки. И в самом деле, если проследить историю
становления античной математики, тесно связанную с развитием античной
философии и логики, то можно заметить, как некоторые важнейшие аксиомы
геометрии возникают из стремления преодолеть те противоречия, которые
влекут за собой допущение понятия актуальной бесконечности, и тем самым
создать предпосылки для построения непротиворечивой системы знания. Такова,
например, аксиома Евдокса, известная также под именем аксиомы Архимеда и
составляющая одно из важнейших допущений, без которых была бы невозможна
евклидова геометрия. Вот как формулируется аксиома Евдокса в виде IV
определения V книги "Начал": "Говорят, что величины имеют отношение между
собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга". С помощью этой
аксиомы Евклид хочет найти возможность устанавливать отношения не только
между соизмеримыми, но и между несоизмеримыми отрезками (величинами) и тем
самым нейтрализовать те затруднения, которые были порождены открытием
несоизмеримости. Но, как отмечает В. Вилейтнер, аксиома Евдокса у Евклида
решает и еще одну задачу, а именно: "Евклид хочет лишить права находиться в
отношении "бесконечно малые" и "бесконечно большие" образы, как, например,
введенные уже древними философами (Демокрит) последние частицы (атомы,
неделимые) отрезка или же всю бесконечную прямую". Греческим математикам
были известны так называемые роговидные углы, т.е. углы, образованные
окружностью и касательной (или же двумя кривыми). Но криволинейные и
прямолинейные углы не находятся между собой ни в каком отношении -
роговидный угол всегда меньше любого угла. Иначе говоря, "роговидные углы
по отношению к любому прямолинейному являются актуальными бесконечно
малыми, или неархимедовыми, величинами". Аксиома Евдокса оказывается
непосредственно связанной с необходимостью избежать парадоксов актуально
бесконечного, которые были выявлены Зеноном и вызвали стремление избежать
их не только у математиков - Евдокса, Евклида, Архимеда, но и у Аристотеля,
положившего принцип непрерывности (аналогичный аксиоме непрерывности
Евдокса) в основу античной физики.
Как видим, намерения Николая Кузанского радикальны: он не просто ставит под
сомнение основательность того фундамента, на котором строилась греческая
математика и физика, - он убежден, что этот фундамент построен не с помощью
высшей способности - интеллекта, но с помощью низшей - рассудка, а потому
подлежит пересмотру. Николай Кузанский вновь возвращает нас к Зенону с его
парадоксами бесконечности, с тем, однако, различием, что Зенон видел в
парадоксах орудие разрушения (ложного знания), а Кузанец видит в парадоксе
средство созидания, с помощью которого можно заново создать фундамент
человеческого знания (правда, само это знание имеет парадоксальный характер
- оно есть "умудренное неведение"). "Если исследуешь математику, - пишет
он, - устанавливай одно более интеллектуальное (математическое) искусство,
другое - как бы чувственное, а среднее - как бы рассудочное. То же в
арифметике, то же в геометрии, то же в музыке".
Критикуя тех, кто возводит в высшую норму мышления законы рассудка, Кузанец
чаще всего имеет в виду Аристотеля и перипатетиков. И в самом деле,
Аристотель сделал очень много для того, чтобы создать научное знание - т.е.
знание достоверное и непротиворечивое - о предметах эмпирического мира: он
приложил большие усилия для опровержения Платона, убежденного в том, что
наука о чувственном мире, в котором все подвержено постоянному изменению,
уничтожению и возникновению, принципиально невозможна.
Может возникнуть впечатление, что, критикуя рассудочные основания античной
математики, Николай Кузанский отвергает Аристотеля и обращается к традиции
Платона. В действительности в своей критике оснований античной математики
Кузанец оказывается едва ли не дальше от Платона, чем от Аристотеля.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185